Question

1．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，點C，F(xiàn)分別在兩個半圓弧的中點，PE∥AC，PA=AC=2，PE=1．
（1）求證：BC⊥AE；
（2）求直線PF與平面ECB所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面PAC，即可證明BC⊥AE；
（2）建立如圖所示的坐標系，求出平面ECB的平面角，$\overrightarrow{PF}$，即可求直線PF與平面ECB所成角θ的正弦值．

解答 （1）證明：∵AB是圓O的直徑，
∴BC⊥AC，
∵PA垂直圓O所在的平面，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵PE∥AC，
∴AE?平面PAC，
∴BC⊥AE；
（2）解：∵點C，F(xiàn)分別在兩個半圓弧的中點，
∴AF⊥AC，
建立如圖所示的坐標系，則P（0，0，2），F(xiàn)（0，2，0），C（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，2），
設平面ECB的平面角為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{EC}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{EB}$=（1，2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2z=0}\\{x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
∵$\overrightarrow{PF}$=（0，2，-2），
∴直線PF與平面ECB所成角θ的正弦值|$\frac{-2}{\sqrt{4+1}•\sqrt{4+4}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查線面垂直的性質(zhì)與判定，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．