Question

6．已知數列{a_n}滿足：a₁=1，${2^{n-1}}{a_n}={a_{n-1}}（n∈{N^*}，n≥2）$，則數列{a_n}的通項公式為a_n=${（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，由此利用累乘法能求出數列{a_n}的通項公式．

解答 解：∵數列{a_n}滿足：a₁=1，${2^{n-1}}{a_n}={a_{n-1}}（n∈{N^*}，n≥2）$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{2}}×$…×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{1}{{2}^{1+2+3+…+（n-1）}}$
=${（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$．
故答案為：${（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意累乘法的合理運用．