Question

已知y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的圖象過點(diǎn)P（

π

12

，0），圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)頂點(diǎn)是Q（

π

3

，5）．
（1）求函數(shù)f（x）≤0，x的取值范圍．
（2）求f（x）的對(duì)稱中心．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的對(duì)稱性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的小于0的范圍，得到關(guān)于x的不等式，得到函數(shù)值小于0時(shí)的自變量的取值．
（2）令2x-

π

6

=kπ（k∈Z），求出x的值，即可確定出f（x）的對(duì)稱中心．

解答： 解：（1）由題意可得，A=5，

1

4

T=

1

4

•

2π

ω

=

π

3

-

π

12

，
∴ω=2．
再把點(diǎn)P（

π

12

，0）代入函數(shù)的解析式可得 5sin（

π

6

+φ）=0．
故可取φ=-

π

6

，故函數(shù)的解析式為y=5sin（2x-

π

6

），
∵f（x）=5sin（2x-

π

6

）≤0，
∴由2kπ+π≤2x-

π

6

≤2kπ+2π，k∈Z可解得：kπ+

7π

12

≤x≤kπ+

13π

12

，k∈Z
（2）由2x-

π

6

=kπ可解得：x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z
故f（x）的對(duì)稱中心是：（

kπ

2

+

π

12

，0），k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解，屬于基礎(chǔ)題．