已知函數(shù)f(x)=x
-ax+(a-1)
,
。
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若
,設(shè)
,
(�。┣笞Cg(x)為單調(diào)遞增函數(shù);
(ⅱ)求證對任意x,x
,x
x
,有
.
(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;
當(dāng)1<a<2時(shí),f(x)在(a-1,1)單調(diào)遞減,在(0,a-1),(1,+∞)單調(diào)遞增;
當(dāng)a>2時(shí),f(x)在(1,a-1)單調(diào)遞減,在(0,1),(a-1,+∞)單調(diào)遞增.
(2)見解析.
解析試題分析:(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后求出時(shí)的駐點(diǎn),再由
的大小關(guān)系討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),從而確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)(ⅰ)由
得出
;求出
,由
的范圍得從而得出出
,函數(shù)單調(diào)遞增;(ⅱ)由
單調(diào)遞增定義可推導(dǎo).
試題解析:(1)∵函數(shù)f(x)=x2-ax+(a-1)lnx,其中a>1,
∴f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
令解得:
.
①若a-1=1,即a=2時(shí),
故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.
②若0<a-1<1,即1<a<2時(shí),
由f′(x)<0得,a-1<x<1;
由f′(x)>0得,0<x<a-1,或x>1.
故f(x)在(a-1,1)單調(diào)遞減,在(0,a-1),(1,+∞)單調(diào)遞增.
③若a-1>1,即a>2時(shí),
由f′(x)<0得,1<x<a-1;由f′(x)>0得,0<x<1,或x>a-1.
故f(x)在(1,a-1)單調(diào)遞減,在(0,1),(a-1,+∞)單調(diào)遞增.
綜上可得,當(dāng)a=2時(shí),f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;
當(dāng)1<a<2時(shí),f(x)在(a-1,1)單調(diào)遞減,在(0,a-1),(1,+∞)單調(diào)遞增;
當(dāng)a>2時(shí),f(x)在(1,a-1)單調(diào)遞減,在(0,1),(a-1,+∞)單調(diào)遞增.
(2) (�。�
則 .10分
由于1<a<5,故,即g(x)在(0, +∞) 上單調(diào)遞增. .11分
(ⅱ)由(�。┲�(dāng)時(shí)有
,即
,
故,當(dāng)
時(shí),有
14分
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性;2.用化歸與轉(zhuǎn)化思想處理恒成立問題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
且
的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行.
(1)求的值;
(2)若存在使不等式
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)對于函數(shù)與
公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)
,我們把
的值稱為兩函數(shù)在
處的偏差,求證:函數(shù)
與
在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2
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已知函數(shù)在點(diǎn)
處的切線方程為
.
(1)求,
的值;
(2)對函數(shù)定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)
,
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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設(shè).
(Ⅰ)若對一切
恒成立,求
的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè),且
是曲線
上任意兩點(diǎn),若對任意的
,直線AB的斜率恒大于常數(shù)
,求
的取值范圍;
(Ⅲ)求證:.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值為28,求
的取值范圍.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間
上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)
的最小值;
(Ⅲ)若存在(
是自然對數(shù)的底數(shù))使
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)
在
上有唯一的零點(diǎn),若有,請求出
的范圍;若沒有,請說明理由.
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已知函數(shù),(
)在
處取得最小值.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若在
處的切線方程為
,求證:當(dāng)
時(shí),曲線
不可能在直線
的下方;
(Ⅲ)若,(
)且
,試比較
與
的大小,并證明你的結(jié)論.
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