Question

【題目】（本小題滿分14分）

已知， 為橢圓的左、右頂點(diǎn)， 為其右焦點(diǎn)， 是橢圓上異于， 的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為．

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以

為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的方程為， ．

由題意知解得， ．

故橢圓的方程為，離心率為．……6分

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可設(shè)直線的方程為 .

則點(diǎn)坐標(biāo)為， 中點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由得．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

所以， ．……………………………10分

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

直線軸，此時(shí)以為直徑的圓與直線相切．

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.

所以直線的方程為．

點(diǎn)到直線的距離 ．

又因?yàn)?/span>，所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切．………14分

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的特征可得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)， 面積最大，即可列，由題目條件知，結(jié)合，進(jìn)而求得橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）設(shè)，由題意可設(shè)直線的方程為，可得點(diǎn)與中點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，進(jìn)而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)，再寫(xiě)出直線的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于直徑的一半，進(jìn)而解得此問(wèn)．

試題解析：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的方程為， ．

由題意知解得， ．

故橢圓的方程為，離心率為．

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可設(shè)直線的方程為 ．

則點(diǎn)坐標(biāo)為， 中點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由得．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

所以， ．

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

直線軸，此時(shí)以為直徑的圓與直線相切．

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率．

所以直線的方程為．

點(diǎn)到直線的距離 ．

又因?yàn)?/span>，所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切．