Question

《選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程》
在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知過點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），直線 與曲線C分別交于M，N．
（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：綜合題

分析：（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲線C的普通方程；直接消掉參數(shù)t可得直線l的普通方程；（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得關(guān)于t的二次方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，得|MN|²=|PM||PN|，變形后代入韋達(dá)定理可得a的方程；

解答： 解：（1）由ρsin²θ=2acosθ，得ρ²sin²θ=2aρcosθ，即y²=2ax，
由

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

消掉t，得y=x-2，
所以曲線C和直線l的普通方程分別為：y²=2ax，y=x-2；
（2）把直線l的參數(shù)方程代入y²=2ax，得t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，
則有t1+t2=2

2

(4+a)，t₁t₂=8（4+a），
因?yàn)閨MN|²=|PM||PN|，
所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=t₁t₂，即8（4+a）²=5×8（4+a），
解得a=1；

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)方程、簡單的極坐標(biāo)方程及其與普通方程的互化，考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的意義，考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識．