Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ（n∈N^*）
（1）設(shè)b_n=

an-2n

3n

，證明：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)C_n=

an+1

an

（n∈N^*），是否存在k∈N^*，使得C_n≤C_k對(duì)一切正整數(shù)n均成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出；
（3）計(jì)算c_n-c₁≤0即可得出．

解答： （1）證明：∵b_n+1-b_n=

an+1-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=

3an+3n+1-2n-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=

3an+3n+1-3•2n+1-3an+3•2n+1

3n+1

=

3n+1

3n+1

=1，
b1=

a1-2

3

=0，
∴數(shù)列{b_n}是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
∴b_n=0+（n-1）×1=n-1，
∴n-1=

an-2n

3n

，
∴an=2n+(n-1)•3n．
（2）令數(shù)列{（n-1）•3ⁿ}的前n項(xiàng)和為T_n，
則T_n=0+1×3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ，
    3Tn=1×33+2×3⁴+…+（n-2）•3ⁿ+（n-1）•3ⁿ⁺¹，
兩式相減得-2T_n=3²+3³+…+3ⁿ-（n-1）•3ⁿ⁺¹=

3n-1

3-1

-3-(n-1)•3n+1，
∴T_n=-

1-3n

4

+

3

2

+

(n-1)•3n+1

2

．
∵2¹+2²+…+2ⁿ=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n+1-2+

1-3n

4

+

3

2

+

(n-1)•3n+1

2

=2n+1-

(6n-7)•3n+1-1

4

；
（3）c_n-c₁=

an+1

an

-

a2

a1

=

an+1a1-ana2

ana1

，
∵分子=[2ⁿ⁺¹+n•3ⁿ⁺¹]×2-13[2ⁿ+（n-1）•3ⁿ]
=-9•2ⁿ-（7n-13）•3ⁿ≤0，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)．
故存在正整數(shù)k=1，使得C_n≤C₁對(duì)一切正整數(shù)n均成立．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、“作差法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等是解題的關(guān)鍵．