Question

【題目】如圖，在多面體中，梯形與平行四邊形所在平面互相垂直， ，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判斷線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行得線(xiàn)面平行平面，平面，再根據(jù)線(xiàn)面平行得面面平行平面平面，最后由面面平行性質(zhì)得結(jié)論，（Ⅱ）先根據(jù)面面垂直得線(xiàn)面垂直平面，再得線(xiàn)線(xiàn)垂直，類(lèi)似可得進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面法向量，利用向量數(shù)量積得兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系得結(jié)果，（Ⅲ）先設(shè)，再利用方程組解得平面法向量，最后根據(jù)兩法向量數(shù)量積為零解得結(jié)果.

（Ⅰ）由底面為平行四邊形，知，

又因?yàn)?/span>平面，平面， 所以平面.

同理平面，又因?yàn)?/span>，所以平面平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面

（Ⅱ）連接,因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，

所以平面. 則.

又因?yàn)?/span>，，， 所以平面，則.

故兩兩垂直，所以以所在的直線(xiàn)分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，， 所以,，為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，，得 令，得.

所以.

如圖可得二面角為銳角， 所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）結(jié)論：線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得平面平面.

證明如下：設(shè)，所以. 設(shè)平面的法向量為，又因?yàn)?/span>，所以，，即 令，得.

若平面平面，則，即， 解得.

所以線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得平面平面，且此時(shí).