Question

如圖1，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如圖2折疊；折痕EF∥DC，其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF．
（1）證明：CF⊥平面MDF；
（2）求三棱錐M-CDE的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離,空間角,立體幾何

分析：（1）要證CF⊥平面MDF，只需證CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即證MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；
（2）求出△CDE的面積S_△CDE，對應三棱錐的高MD，計算它的體積V_M-CDE．

解答： 解：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面ABCD；
又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD?平面ABCD，MD⊥CD，
∴MD⊥平面PCD，CF?平面PCD，∴CF⊥MD；
又CF⊥MF，MD、MF?平面MDF，MD∩MF=M，
∴CF⊥平面MDF；
（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，
又∵∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=

1

2

CD=

1

2

；
∵EF∥DC，∴

DE

DP

=

CF

CP

，即

DE

3

=

1 2

2

，
∴DE=

3

4

，∴PE=

3 3

4

，
∴S_△CDE=

1

2

CD•DE=

3

8

；
MD=

ME2-DE2

=

( 3 3 4 )2-( 3 4 )2

=

6

2

，
∴V_M-CDE=

1

3

S_△CDE•MD=

1

3

×

3

8

×

6

2

=

2

16

．

點評：本題考查了空間中的垂直關系的應用問題，解題時應結合圖形，明確線線垂直、線面垂直以及面面垂直的相互轉化關系是什么，幾何體的體積計算公式是什么，是中檔題．