Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-2n，令b_n=a_ncos

nπ

2

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T₂₀₁₄=（　　）

• A、-2011
• B、-2012
• C、-2013
• D、-2014

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”可得a_n，于是bn=(2n-3)•cos

nπ

2

．由于函數(shù)y=cos

nπ

2

的周期T=

2π

π 2

=4．利用周期性和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-2n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1-2=-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n-[（n-1）²-2（n-1）]=2n-3．上式對(duì)于n=1時(shí)也成立．
∴a_n=2n-3．
∴bn=(2n-3)•cos

nπ

2

．
∵函數(shù)y=cos

nπ

2

的周期T=

2π

π 2

=4．
∴T₂₀₁₄=（b₁+b₅+…+b₂₀₀₉）+（b₂+b₆+…+b₂₀₁₀）+（b₃+b₇+…+b₂₀₁₁）+（b₄+b₈+…+b₂₀₁₂）+b₂₀₁₃+b₂₀₁₄
=0-（1+9+…+4017）+0+（5+13+…+4021）+4023•cos

2013π

2

+4025•cos

2014π

2

=4×503+0-4025
=-2013．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、余弦函數(shù)的周期性、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．