【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè),求.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)可采用作差法由an=Sn﹣Sn﹣1求得an=2an﹣1+2n﹣1,再由bn,表示出bn+1﹣bn,故得證數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列;
(2)由(1)所求bn通項(xiàng)公式反解出an=(n+2)2n﹣1,化簡(jiǎn)得Sn= (n+1)2n﹣1,結(jié)合錯(cuò)位相減法即可求解;
(1)Sn=2an﹣2n﹣1,可得a1=S1=2a1﹣2﹣1,即有a1=3, n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2n﹣1﹣2an﹣1+2n﹣1+1,可得an=2an﹣1+2n﹣1,由bn,可得bn+1﹣bn,
則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列;
(2)由(1)可得bn(n﹣1),即an=(n+2)2n﹣1, Sn=2an﹣2n﹣1=(n+1)2n﹣1, Tn=S1+S2+…+Sn=22+34+48+…+(n+1)2n﹣n, 2Tn=24+38+416+…+(n+1)2n+1﹣2n,相減可得﹣Tn=4+4+8+16+…+2n﹣(n+1)2n+1+n=2(n+1)2n+1+n,化簡(jiǎn)可得Tn=n2n+1﹣n.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖甲,在直角梯形中,,,,過(guò)作,垂足為,現(xiàn)將沿折疊,使得.取的中點(diǎn),連接,,,如圖乙.
甲 乙
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的. [附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.]
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度;
(2)試估計(jì)該公司投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后,對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入 (單位:萬(wàn)元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益 (單位:萬(wàn)元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來(lái)一定的危害,為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬(wàn)元,搭建了甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚,每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入種黃瓜的年收入與投入(單位:萬(wàn)元)滿足.設(shè)甲大棚的投入為(單位:萬(wàn)元),每年兩個(gè)大棚的總收益為(單位:萬(wàn)元)
(1)求的值;
(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入,才能使總收益最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】命題:已知為實(shí)數(shù),若關(guān)于的不等式有非空解集,則,寫出該命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷這些命題的真假.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為,求在上的最小值;
(2)若存在,使,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以橢圓的上焦點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線截得的弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)做兩條互相垂直的直線,,且分別交橢圓于,兩點(diǎn)(,不是橢圓的頂點(diǎn)),探究直線是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn)則求出定點(diǎn)坐標(biāo),否則說(shuō)明理由.
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