Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的上焦點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓左頂點(diǎn)做兩條互相垂直的直線，，且分別交橢圓于，兩點(diǎn)（，不是橢圓的頂點(diǎn)），探究直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)則求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 恒過定點(diǎn)，見解析

【解析】

（1）由題得，，解方程組即得橢圓的方程；（2）設(shè)的方程為，的方程為，當(dāng)斜率存在時(shí)，的方程為，過定點(diǎn)，當(dāng)MN的斜率不存在時(shí)，也過定點(diǎn). 即得解.

（1）∵，∴，

設(shè)圓的方程為，圓心為，半徑為，

設(shè)為圓心到直線的距離，

則，

∵，

∴，即，

，∵，∴.

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)的方程為，的方程為，

聯(lián)立，可得，

整理，設(shè)，

∵不是橢圓的頂點(diǎn)，

∴，

代入，得，

，

聯(lián)立 ，設(shè)，

∴，

帶入，得，

，

①若斜率存在，

，

：

恒過.

②若斜率不存在，

的方程為，的方程為，

，，此時(shí)：，亦過，

綜上，直線恒過.