【題目】如圖,直棱柱中,分別是的中點,,

1)證明:平面;

2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】

1)連接AC1,交A1C于點F,則FAC1的中點,連接DF,則BC1DF,由此能證明BC1∥平面A1C

2)以C為坐標原點,CA、CB、CC1x軸、y軸、z軸建立空間坐標系Cxyz,利用向量法能求出二面角DA1CE的正弦值.

1)如圖,連接于點F,則點F的中點,連接.

因為D的中點,

所以在中,是中位線,

所以.

因為平面平面,

所以平面.

2)因為,

所以,即.

則以C為坐標原點,分別以,,xy,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,設,

,,

,.

是平面的一個法向量,

,即,

,則,,

.

是平面的一個法向量,

,即,

,則,,

.

所以,

所以,

即二面角的正弦值為.

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