【題目】已知函數(shù),的導(dǎo)數(shù),函數(shù)處取得最小值.

1)求證:;

2)若時,恒成立,求的取值范圍.

【答案】1)見解析; 2.

【解析】

1)對求導(dǎo),令,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析可得存在使得,即,即得證;

2)分兩種情況討論,當(dāng)時,轉(zhuǎn)化利用均值不等式即得證;當(dāng),有兩個不同的零點,,分析可得的最小值為,分,討論即得解.

1)由題意,

,則,知的增函數(shù),

因為,

所以,存在使得,即

所以,當(dāng),為減函數(shù),

當(dāng),為增函數(shù),

故當(dāng)時,取得最小值,也就是取得最小值.

,于是有,即,

所以有,證畢.

2)由(1)知,的最小值為,

當(dāng),即時,的增函數(shù),

所以,

,

由(1)中,得,即

滿足題意.

當(dāng),即時,有兩個不同的零點,,

,即,

,為減函數(shù),(*

,為增函數(shù),

所以的最小值為

注意到時,,且此時,

)當(dāng)時,

所以,即,

,

,所以,即

由于在下,恒有,所以

)當(dāng)時,,

所以,

所以由(*)知時,為減函數(shù),

所以,不滿足時,恒成立,故舍去.

滿足條件.

綜上所述:的取值范圍是

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】受傳統(tǒng)觀念的影響,中國家庭教育過程中對子女教育的投入不遺余力,基礎(chǔ)教育消費一直是中國家庭教育的重頭戲,升學(xué)壓力的逐漸增大,特別是對于升入重點學(xué)校的重視,導(dǎo)致很多家庭教育支出增長較快,下面是某機構(gòu)隨機抽樣調(diào)查某二線城市2012-2018年的家庭教育支出的折線圖.

(附:年份代碼1-7分別對應(yīng)的年份是2012-2018

1)從圖中的折線圖看出,可用線性回歸模型擬合yt的關(guān)系,請求出相關(guān)系數(shù)r(精確到0.001),并指出是哪一層次的相關(guān)性?(相關(guān)系數(shù),相關(guān)性很強;,相關(guān)性一般;,相關(guān)性較弱).

2)建立y關(guān)于t的回歸方程;

3)若2019年該地區(qū)家庭總支出為10萬元,預(yù)測家庭教育支出約為多少萬元?

附注:參考數(shù)據(jù):,,.

參考公式:,回歸方程

其中,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,不等式的解集是.

1)求的解析式;

2)不等式組的正整數(shù)解只有一個,求實數(shù)k取值范圍;

3)若對于任意,不等式恒成立,求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠有兩臺不同機器生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各萬件,現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取件,進(jìn)行品質(zhì)鑒定,鑒定成績的莖葉圖如圖所示:

該產(chǎn)品的質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:鑒定成績達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為優(yōu)秀;鑒定成績達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為良好;鑒定成績達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為合格.將這組數(shù)據(jù)的頻率視為整批產(chǎn)品的概率.

1)完成下列列聯(lián)表,以產(chǎn)品等級是否達(dá)到良好以上(含良好)為判斷依據(jù),判斷能不能在誤差不超過的情況下,認(rèn)為機器生產(chǎn)的產(chǎn)品比機器生產(chǎn)的產(chǎn)品好;

生產(chǎn)的產(chǎn)品

生產(chǎn)的產(chǎn)品

合計

良好以上(含良好)

合格

合計

2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,從兩臺不同機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取件,求件產(chǎn)品中機器生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量多于機器生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量的概率;

3)已知優(yōu)秀等級產(chǎn)品的利潤為/件,良好等級產(chǎn)品的利潤為/件,合格等級產(chǎn)品的利潤為/件,機器每生產(chǎn)萬件的成本為萬元,機器每生產(chǎn)萬件的成本為萬元;該工廠決定:按樣本數(shù)據(jù)測算,若收益之差不超過萬元,則仍然保留原來的兩臺機器.你認(rèn)為該工廠會仍然保留原來的兩臺機器嗎?

附:1.獨立性檢驗計算公式:.

2.臨界值表:

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:

①直線與直線的斜率乘積為;

軸;

③以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.

其中,所有正確判斷的序號是(

A.①②③B.①②C.①③D.②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點在曲線上,點在曲線上,且為正三角形.

1)求點的極坐標(biāo);

2)若點為曲線上的動點,為線段的中點,求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點為拋物線的焦點,點、在拋物線上,且、三點共線.若圓的直徑為.

1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)過點的直線與拋物線交于點,分別過兩點作拋物線的切線,,證明直線,的交點在定直線上,并求出該直線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)的極值;

2)設(shè)函數(shù),若函數(shù)恰有一個零點,求函數(shù)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】正三棱柱(底面是正三角形,側(cè)棱垂直底面)的各條棱長均相等,的中點,、分別是上的動點(含端點),且滿足.當(dāng)、運動時,下列結(jié)論中正確的個數(shù)是(

①平面平面;

②三棱錐的體積為定值;

可能為直角三角形;

④平面與平面所成的銳二面角范圍為.

A.1B.2C.3D.4

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