【題目】正三棱柱(底面是正三角形,側(cè)棱垂直底面)的各條棱長均相等,的中點(diǎn),分別是、上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿足.當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(

①平面平面

②三棱錐的體積為定值;

可能為直角三角形;

④平面與平面所成的銳二面角范圍為.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

得線段MN必過正方形的中心O,則平面,推出面面垂直;的面積不變,點(diǎn)N到平面的距離不變得到三棱錐的體積為定值;利用反證法說明不可能為直角三角形;設(shè)三棱柱棱長為a,,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法表示出平面與平面所成二面角的余弦值,根據(jù)t的范圍求出的范圍即可求得兩平面所成銳二面角的范圍.

①如圖當(dāng)MN分別在、上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足,則線段MN必過正方形的中心O,而平面,所以平面平面,①正確;

②當(dāng)M、N分別在上運(yùn)動(dòng)時(shí),的面積不變,點(diǎn)N到平面的距離不變,所以棱錐的體積不變,即三棱錐的體積為定值,②正確;

設(shè)三棱柱棱長為a,由易知,

為直角三角形則,

所以,化簡得

解得,均不符合題意,所以不可能為直角三角形,錯(cuò)誤;

④建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:

設(shè)三棱柱棱長為a,,則,

設(shè)為平面DMN的法向量,則

可得平面DMN的一個(gè)法向量為,

易知為平面ABC的一個(gè)法向量,

設(shè)平面與平面所成二面角為,則,

因?yàn)?/span>,所以,

所以平面與平面所成的銳二面角范圍為,④正確.

故選:C

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù),的導(dǎo)數(shù),函數(shù)處取得最小值.

1)求證:

2)若時(shí),恒成立,求的取值范圍.

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【題目】鳳鳴山中學(xué)的高中女生體重 (單位:kg)與身高(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)),用最小二乘法近似得到回歸直線方程為,則下列結(jié)論中不正確的是(

A.具有正線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本的中心點(diǎn)

C.若該中學(xué)某高中女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該中學(xué)某高中女生身高為160cm,則可斷定其體重必為50.29kg.

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【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn),軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,上一動(dòng)點(diǎn),,點(diǎn)的軌跡為

1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并化為直角坐標(biāo)方程;

2)若點(diǎn),直線的參數(shù)方程為參數(shù)),直線與曲線的交點(diǎn)為,當(dāng)取最小值時(shí),求直線的普通方程.

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【題目】國家文明城市評(píng)審委員會(huì)對甲、乙兩個(gè)城市是否能入圍國家文明城市進(jìn)行走訪調(diào)查,派出10人的調(diào)查組,先后到甲、乙兩個(gè)城市的街道、社區(qū)進(jìn)行問卷調(diào)查,然后打分(滿分100分),他們給出甲、乙兩個(gè)城市分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示:

1)請你用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)分析哪個(gè)城市更應(yīng)該入圍國家文明城市,并說明理由;

2)從甲、乙兩個(gè)城市的打分中各抽取2個(gè),在已知有大于80分的條件下,求抽到乙城市的分?jǐn)?shù)都小于80分的概率.

(參考數(shù)據(jù):,

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【題目】如圖,是南北方向的一條公路,是北偏東方向的一條公路,某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線.為方便游客光,擬過曲線上的某點(diǎn)分別修建與公路,垂直的兩條道路,,且的造價(jià)分別為5萬元百米,40萬元百米,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則曲線符合函數(shù)模型,設(shè),修建兩條道路,的總造價(jià)為萬元,題中所涉及的長度單位均為百米.

1)求解析式;

2)當(dāng)為多少時(shí),總造價(jià)最低?并求出最低造價(jià).

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(1)若邊的中點(diǎn),求證:平面.

(2)求證:.

(3)若邊的中點(diǎn),能否在上找出一點(diǎn),使平面 平面?

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A.3B.2C.1D.0

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【題目】某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān),隨機(jī)抽取了選修課程的60名學(xué)生,得到數(shù)據(jù)如下表:

喜歡統(tǒng)計(jì)課程

不喜歡統(tǒng)計(jì)課程

合計(jì)

男生

20

10

30

女生

10

20

30

合計(jì)

30

30

60

(1)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)?

(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查,將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本,從中任選3人,求恰有2個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.

下面的臨界值表供參考:

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中

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