Question

【題目】某農(nóng)場(chǎng)灌溉水渠長(zhǎng)為1000米，橫截面是等腰梯形，如圖，在等腰梯形中，，，其中渠底寬為1米，渠口寬為3米，渠深米.根據(jù)國(guó)家對(duì)農(nóng)田建設(shè)補(bǔ)貼的政策，該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在原水渠的基礎(chǔ)上分別沿射線方向加寬、方向加深，若擴(kuò)建后的水渠橫截面仍是等腰梯形，且面積是原面積的2倍.設(shè)擴(kuò)建后渠深為米，若挖掘費(fèi)用為每立方米萬(wàn)元，水渠的內(nèi)壁（渠底和梯形兩腰，端也要重新鋪設(shè)）鋪設(shè)混凝土的費(fèi)用為每平方米萬(wàn)元.

（1）用表示渠底的長(zhǎng)度，并求出的取值范圍；

（2）問(wèn)渠深為多少米時(shí)，建設(shè)費(fèi)用最低？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)米時(shí)，建設(shè)費(fèi)用最低

【解析】

（1）作出梯形的高，根據(jù)相似三角形和等腰梯形的面積關(guān)系，即可求得的長(zhǎng)度及的取值范圍；

（2）得出建設(shè)費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的極小值，即可得到答案．

（1）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，，

設(shè)擴(kuò)建后渠底寬米，因?yàn)閿U(kuò)建后水渠仍為等腰梯形，渠深米，，所以，可得，，米，

則，，

擴(kuò)建后梯形的面積.

又梯形的面積，因?yàn)?/span>，

所以，所以，

由，解得，

即，，

即渠底的長(zhǎng)度為， 的取值范圍為．

（2）建設(shè)費(fèi)用為

，，

設(shè)，

則，解得.

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	-	0	+

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即建設(shè)費(fèi)用最低.