Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，是棱中點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)在棱上，且平面平面，試確定點(diǎn)的位置并說明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）為中點(diǎn)，理由見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.

【解析】

(1)為中點(diǎn),可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明，，從而證明平面平面；

（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

（1）為中點(diǎn)，證明如下：

分別為中點(diǎn)，

又平面平面

平面

又，且四邊形為平行四邊形，

同理，平面，又

平面平面

（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系

則，

設(shè)直線與平面所成角為，則

取平面的法向量為則

令，則

所以

當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

即當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.