Question

已知函數(shù)f（x）=2|x+1|-|x-3|
（1）求不等式f（x）≥5的解集；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時，關(guān)于x的不等式f（x）-|2t-3|≥0有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化簡函數(shù)的解析式，把不等式轉(zhuǎn)化為與之等價的3個不等式組，解出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）∈[-4，5]，由題意可得 5-|2t-3|≥0，由此求得t的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2|x+1|-|x-3|=

x+5 ，x≥3 3x-1 ，-1＜x＜3 -x-5  ，x≤-1

，由式f（x）≥5，可得

x+5≥5 x≥3

 ①，或 

3x-1≥5 -1＜x＜3

 ②，或

-x-5≥5 x≤-1

．
解①求得x≥3，解②求得 2≤x＜3，解③求得 x≤-10．
故不等式的解集為[2，+∞）∪（-∞，-10]．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）∈[-4，5]，∵關(guān)于x的不等式f（x）-|2t-3|≥0有解，
∴5-|2t-3|≥0，即-5≤2t-3≤5，求得-1≤t≤4，
故t的范圍為[-1，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．