Question

4．中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)有兩種月餅禮盒，甲禮盒中裝有2個五仁月餅，2個豆沙月餅，2個蓮蓉月餅；乙禮盒中裝有3個五仁月餅，3個豆沙月餅．這12個月餅外觀完全相同，從中隨機選取4個．
（Ⅰ）設(shè)事件A為“選取的4個月餅中恰有2個五仁月餅，且這2個五仁月餅選自同一個禮盒”，求事件A發(fā)生的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為選取的4個月餅中豆沙月餅的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用組合知識確定基本事件的個數(shù)，然后利用古典概型概率計算公式得答案；
（Ⅱ）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，由古典概型概率計算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知有$P（A）=\frac{C_2^2C_7^2+C_3^2C_7^2}{{C_{12}^4}}=\frac{28}{165}$，
所以事件A發(fā)生的概率為$\frac{28}{165}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
$P（X=0）=\frac{C_5^0C_7^4}{{C_{12}^4}}=\frac{7}{99}$，$P（X=1）=\frac{C_5^1C_7^3}{{C_{12}^4}}=\frac{35}{99}$，
$P（X=2）=\frac{C_5^2C_7^2}{{C_{12}^4}}=\frac{14}{33}$，$P（X=3）=\frac{C_5^3C_7^1}{{C_{12}^4}}=\frac{14}{99}$，$P（X=4）=\frac{C_5^4}{{C_{12}^4}}=\frac{1}{99}$
所以隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{7}{99}$	$\frac{35}{99}$	$\frac{14}{33}$	$\frac{14}{99}$	$\frac{1}{99}$

隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為$E（X）=0×\frac{7}{99}+1×\frac{35}{99}+2×\frac{14}{33}+3×\frac{14}{99}+4×\frac{1}{99}=\frac{5}{3}$

點評 考點排列組合、古典概型、隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，是中檔題．