Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂$\frac{1}{1-x}$，記F（x）=2f（x）+g（x）
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程F（x）-log₂m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)的解析式，列出不等式組即可求解函數(shù)的定義域，函數(shù)的零點利用方程的根求解即可．
（2）利用零點定理以及構(gòu)造函數(shù)通過二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）、函數(shù)有意義，可得：$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，所以函數(shù)的定義域D=（-1，1），
$F（x）=2{log_2}（x+1）-{log_2}（1-x）={log_2}\frac{{{{（x+1）}^2}}}{1-x}$，
$F（x）=0⇒\frac{{{{（1+x）}^2}}}{1-x}=1⇒{x^2}+3x=0⇒x=0$
函數(shù)的零點為0．
（2）、根據(jù)題意$m=\frac{{{{（1+x）}^2}}}{1-x}，x∈[0，1）$，等價為x²+（m+2）x+1-m=0在[0，1）有解．
設(shè)h（x）=x²+（m+2）x+1-m，
①h（0）h（1）≤0⇒（1-m）（1+m+2+1-m）≤0⇒m≥1，
②$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ 0＜-\frac{m+2}{2}＜1\\ h（0）＞0\\ h（1）＞0\end{array}\right.⇒m∈ϕ$，∴m≥1．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，函數(shù)的零點，以及根的分布，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查計算能力．