Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；

（2）若直線(xiàn)是函數(shù)的切線(xiàn)方程，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若，證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立．

Answer 1

【答案】（1）0（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的到函數(shù)，可得的單調(diào)性，從而得出其最小值.
(2) 設(shè)切點(diǎn)為,由直線(xiàn)是函數(shù)的切線(xiàn)方程，則，即，又，即，即得，即求出函數(shù)的零點(diǎn)即可.

(3) 因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，,設(shè)，可得恒成立，且，則時(shí)，，即，即，同理可得，從而可證.

解：（1）由于，則，從而在單調(diào)遞增，從而．

（2），由題可知，設(shè)切點(diǎn)為，
則由，整理得．

當(dāng)時(shí)，不可能；當(dāng)時(shí)，得①．

又，即②．

由①②可得，．

令，則，注意到．

令，則，注意到．

令，則恒成立．

可得時(shí)，，時(shí)，，所以恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，可知是方程的唯一解．

所以切點(diǎn)為，．

（3）因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，③，

所以當(dāng)時(shí)，④，

令，則．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，且．

設(shè)，則．

此時(shí)，即，結(jié)合③，得，

即，得到，成立

，即，結(jié)合④，得，

即，得到，

所以，成立，

所以成立，得證．