Question

【題目】已知數(shù)列滿足，，若，則下列判斷正確的是（ ）

A.當(dāng)時，數(shù)列是有窮數(shù)列B.當(dāng)時，數(shù)列是有窮數(shù)列

C.當(dāng)數(shù)列是無窮數(shù)列時，數(shù)列單調(diào)D.當(dāng)數(shù)列單調(diào)時，數(shù)列是無窮數(shù)列

Answer 1

【答案】D

【解析】

由條件可得，即，若存在正整數(shù)，當(dāng)=0時有，，此時數(shù)列為有窮數(shù)列.若恒不為0，則由，結(jié)合，，則.數(shù)列就可以按照此遞推關(guān)系一直計算下去，所以此時為無窮數(shù)列.由此分析選項得到答案.

由，則，所以.

即，所以數(shù)列為等差數(shù)列.

所以

設(shè)數(shù)列，

數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，

若存在正整數(shù)，當(dāng)=0時有，，此時數(shù)列為有窮數(shù)列.

若恒不為0，則由，結(jié)合，，則.

數(shù)列就可以按照此遞推關(guān)系一直計算下去，所以此時為無窮數(shù)列.

故只要對任意的非零自然數(shù)，都不為0，則為無窮數(shù)列.

例如當(dāng)或時，恒不為0，則為無窮數(shù)列，所以A, B不正確.

由遞推關(guān)系有：

取時，

則由上的推導(dǎo)可知為無窮數(shù)列.

此時數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，所以C不正確.

當(dāng)數(shù)列為有窮數(shù)列時，由前面的推導(dǎo)有，存在正整數(shù)，當(dāng)=0時有，

此時數(shù)列為.

由，若數(shù)列單調(diào)，則全為正或全為負(fù).

由 則全為正，而=0.

這與不相符合，即當(dāng)數(shù)列為有窮數(shù)列時，數(shù)列不可能單調(diào).

所以當(dāng)數(shù)列單調(diào)時，數(shù)列一定有無窮多項.所以D正確.

故選：D