【題目】已知中心在原點的橢圓的兩焦點分別為雙曲線的頂點,直線與橢圓交于、兩點,且,點是橢圓上異于的任意一點,直線外的點滿足, . 

(1)求點的軌跡方程;

(2)試確定點的坐標(biāo),使得的面積最大,并求出最大面積.

【答案】(1)點的軌跡是橢圓除去四個點 , , ,其方程為, );(2),點的坐標(biāo)為.

【解析】試題分析:(1)由已知雙曲線的頂點可得橢圓焦點,再由橢圓過定點可解得參數(shù)的值,得到橢圓方程;由已知條件設(shè)出點的坐標(biāo),再由已知向量積為零可得兩坐標(biāo)值的關(guān)系,再由點在橢圓上,分析可得點的軌跡方程;

(3)由點到直線距離可得三角形面積表達(dá)式,由均值不等式可得面積最大值及此時點坐標(biāo)。

試題解析:

(1)由的焦點為的頂點,得的焦點 ,

的方程為,因為上,所以

于是由解得 ,所以的方程為

由直線與橢圓交于、兩點,知、關(guān)于原點對稱,所以

令點 ,則, ,

于是由, ,得

兩式相乘得

又因為點上,所以,即,

代入中,得

當(dāng)時,得;

當(dāng)時,則點,此時,也滿足方程

若點與點重合,即時,由解得

若點與點重合時,同理可得

綜上,點的軌跡是橢圓除去四個點, , , ,其方程為, ).

(2)因為點到直線 的距離, ,

所以的面積

.

當(dāng)且僅當(dāng),即

此時點的坐標(biāo)為

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(3)該二項展開式中系數(shù)最大的項是第1 007項;

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