【題目】已知函數(shù)的定義域為,對于任意的都有,設(shè)時, .
(1)求;
(2)證明:對于任意的, ;
(3)當(dāng)時,若不等式在上恒定成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) ; (2)詳見解析;(3) .
【解析】試題分析:(1)令, , ;(2)令, , , ,結(jié)合時, 即可得結(jié)果;(3)先證明函數(shù)在單調(diào)遞減,根據(jù),將原不等式化為,可得化簡,利用不等式恒成立可得結(jié)果..
試題解析:(1)令, , .
(2)由題意當(dāng)時,
由(1)知,當(dāng),
所以下證,當(dāng)時,
, .
(3)
令, , ,假設(shè),
故函數(shù)在單調(diào)遞減,
化簡得:
, .
【方法點晴】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的單調(diào)性及抽象函數(shù)解不等式,屬于難題.根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式應(yīng)注意以下三點:(1)一定注意抽象函數(shù)的定義域(這一點是同學(xué)們?nèi)菀资韬龅牡胤,不能掉以輕心);(2)注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性(往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù));(3)化成 后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓和點,動圓經(jīng)過點且與圓相切,圓心的軌跡為曲線
(1)求曲線的方程;
(2)點是曲線與軸正半軸的交點,點在曲線上,若直線的斜率滿足求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是 ( )
A. 各月的平均最低氣溫都在0℃以上
B. 七月的平均溫差比一月的平均溫差大
C. 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同
D. 平均最高氣溫高于20℃的月份有5個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,已知橢圓的上頂點為,左、右頂點為,右焦點為, ,且的周長為14.
(I)求橢圓的離心率;
(II)過點的直線與橢圓相交于不同兩點,點N在線段上.設(shè),試判斷點是否在一條定直線上,并求實數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點的橢圓的兩焦點分別為雙曲線的頂點,直線與橢圓交于、兩點,且,點是橢圓上異于、的任意一點,直線外的點滿足, .
(1)求點的軌跡方程;
(2)試確定點的坐標(biāo),使得的面積最大,并求出最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和參加社團活動情況進行調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示
表1
參加社團活動 | 不參加社團活動 | 合計 | |
學(xué)習(xí)積極性高 | 17 | 8 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性一般 | 5 | 20 | 25 |
合計 | 22 | 28 | 50 |
(1)如果隨機從該班抽查一名學(xué)生,抽到參加社團活動的學(xué)生的概率是多少?抽到不參加社團活動且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)運用獨立檢驗的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加社團活動情況是否有關(guān)系?并說明理由.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,我海監(jiān)船在島海域例行維權(quán)巡航,某時刻航行至處,此時測得其東北方向與它相距海里的處有一外國船只,且島位于海監(jiān)船正東海里處.
(1)求此時該外國船只與島的距離;
(2)觀測中發(fā)現(xiàn),此外國船只正以每小時海里的速度沿正南方向航行,為了將該船攔截在離島海里處,不讓其進入島海里內(nèi)的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值.(參考數(shù)據(jù):,)
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