【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求證:當(dāng)時, ;
(Ⅲ)若對任意恒成立,求實數(shù)的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)1.
【解析】試題分析:
(1)對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程即可;
(2)令 ,問題轉(zhuǎn)化為證明 ,證得 即可.
(3)令 ,討論函數(shù) 的性質(zhì)結(jié)合恒成立的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.
試題解析:
(Ⅰ), ,
又,所以切線方程為;
(Ⅱ)由題意知,令 .
令,解得.
易知當(dāng)時, ,易知當(dāng)時, .
即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增
所以,
即,即.
(Ⅲ)設(shè),依題意,對于任意, 恒成立.
,
時, , 在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時, ,滿足題意.
時,隨變化, , 的變化情況如下表:
— | 0 | + | |
↘ | 極小值 | ↗ |
在上單調(diào)遞減,所以
即當(dāng)時,總存在,不合題意.
綜上所述,實數(shù)的最大值為1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為推行“新課堂”教學(xué)法,某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個平行班進行教學(xué)實驗,為了解教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個班級中各隨機抽取名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計,作出的莖葉圖如下圖,記成績不低于分者為“成績優(yōu)良”.
(1)分別計算甲、乙兩班個樣本中,化學(xué)分數(shù)前十的平均分,并據(jù)此判斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更
佳;
(2)甲、乙兩班個樣本中,成績在分以下(不含分)的學(xué)生中任意選取人,求這人來自不同班級的概率;
(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?
甲班 | 乙班 | 總計 | |
成績優(yōu)良 | |||
成績不優(yōu)良 | |||
總計 |
附:
獨立性檢驗臨界值表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是 ( )
A. 各月的平均最低氣溫都在0℃以上
B. 七月的平均溫差比一月的平均溫差大
C. 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同
D. 平均最高氣溫高于20℃的月份有5個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點的橢圓的兩焦點分別為雙曲線的頂點,直線與橢圓交于、兩點,且,點是橢圓上異于、的任意一點,直線外的點滿足, .
(1)求點的軌跡方程;
(2)試確定點的坐標(biāo),使得的面積最大,并求出最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4月23日是世界讀書日,惠州市某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動。為了解本校學(xué)生課外閱讀情況,學(xué)校隨機抽取了100名學(xué)生對其課外閱讀時間進行調(diào)查。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖,且將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”,低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為“讀書迷”與性別有關(guān)?
(Ⅱ)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校大量學(xué)生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“讀書迷”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和參加社團活動情況進行調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示
表1
參加社團活動 | 不參加社團活動 | 合計 | |
學(xué)習(xí)積極性高 | 17 | 8 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性一般 | 5 | 20 | 25 |
合計 | 22 | 28 | 50 |
(1)如果隨機從該班抽查一名學(xué)生,抽到參加社團活動的學(xué)生的概率是多少?抽到不參加社團活動且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)運用獨立檢驗的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加社團活動情況是否有關(guān)系?并說明理由.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌汽車的店,對最近100份分期付款購車情況進行統(tǒng)計,統(tǒng)計情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4;該店經(jīng)銷一輛該品牌汽車,若顧客分3期付款,其利潤為1萬元;分6期或9期付款,其利潤為2萬元;分12期付款,其利潤為3萬元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
頻數(shù) | 20 | 20 |
(1)若以上表計算出的頻率近似替代概率,從該店采用分期付款購車的顧客(數(shù)量較大)中隨機抽取3為顧客,求事件:“至多有1位采用分6期付款“的概率;
(2)按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人,再從抽取的5人中隨機抽取3人,記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸長為, 為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓的方程和離心率.
(2)設(shè)點,動點在軸上,動點在橢圓上,且點在軸的右側(cè).若,求四邊形面積的最小值.
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