【題目】已知函數(shù)f(x)=3x , x∈[﹣1,1],函數(shù)g(x)=[f(x)]2﹣2af(x)+3.
(1)當a=0時,求函數(shù)g(x)的值域;
(2)若函數(shù)g(x)的最小值為h(a),求h(a)的表達式;
(3)是否存在實數(shù)m,n同時滿足下列兩個條件:①m>n>3;②當h(a)的定義域為[n,m]時,值域為[n2 , m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=3x,x∈[﹣1,1],∴ ,設(shè)t=3x, ,
則φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2,對稱軸為t=a.
當a=0時,φ(t)=t2+3, ,∴φ(t)∈[ ,12],
∴函數(shù)g(x)的值域是:[ ,12];
(2)解:∵函數(shù)φ(t)的對稱軸為t=a,
當a< 時,ymin=h(a)=φ( )= ;
當 時,ymin=h(a)=φ(a)=3﹣a2;
當a>3時,ymin=h(a)=φ(3)=12﹣6a.
故 ,
(3)解:假設(shè)滿足題意的m,n存在,∵m>n>3,∴h(a)=12﹣6a,
∴函數(shù)h(a)在(3,+∞)上是減函數(shù).
又∵h(a)的定義域為[n,m],值域為[n2,m2],
∴ ,兩式相減得6(m﹣n)=(m﹣n)(m+n),
又∵m>n>3,∴m﹣n≠0,∴m+n=6,與m>n>3矛盾.
∴滿足題意的m,n不存在
【解析】(1)設(shè)t=3x , 則φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2 , φ(t)的對稱軸為t=a,當a=0時,即可求出g(x)的值域;(2)由函數(shù)φ(t)的對稱軸為t=a,分類討論當a< 時,當 時,當a>3時,求出最小值,則h(a)的表達式可求;(3)假設(shè)滿足題意的m,n存在,函數(shù)h(a)在(3,+∞)上是減函數(shù),求出h(a)的定義域,值域,然后列出不等式組,求解與已知矛盾,即可得到結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y= +lg(﹣x2+4x﹣3)的定義域為M,
(1)求M;
(2)當x∈M時,求函數(shù)f(x)=a2x+2+34x(a<﹣3)的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)畫出函數(shù)f(x)圖象;
(2)求f(﹣a2﹣1)(a∈R),f(f(3))的值;
(3)當﹣4≤x<3時,求f(x)取值的集合.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖(1);B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖(2)(注:所示圖中的橫坐標表示投資金額,單位為萬元)
(1)分別求出A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元資金,才能使企業(yè)獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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【題目】如圖所示,過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F作直線交C于A、B兩點,過A、B分別向C的準線l作垂線,垂足為A′,B′,已知四邊形AA′B′F與BB′A′F的面積分別為15和7,則△A′B′F的面積為 .
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【題目】已知A、B、C是橢圓M: =1(a>b>0)上的三點,其中點A的坐標為 ,BC過橢圓M的中心,且 .
(1)求橢圓M的方程;
(2)過點(0,t)的直線l(斜率存在時)與橢圓M交于兩點P、Q,設(shè)D為橢圓M與y軸負半軸的交點,且 ,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】若不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0對一切x∈R恒成立,則實數(shù)a取值的集合( )
A.{a|a≤2}
B.{a|﹣2<a<2}
C.{a|﹣2<a≤2}
D.{a|a≤﹣2}
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【題目】對于函數(shù)f(x)= ,存在一個正數(shù)b,使得f(x)的定義域和值域相同,則非零實數(shù)a的值為( )
A.2
B.﹣2
C.﹣4
D.4
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