【題目】已知A、B、C是橢圓M: =1(a>b>0)上的三點,其中點A的坐標為 ,BC過橢圓M的中心,且
(1)求橢圓M的方程;
(2)過點(0,t)的直線l(斜率存在時)與橢圓M交于兩點P、Q,設D為橢圓M與y軸負半軸的交點,且 ,求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:

∵點A的坐標為

,橢圓方程為

又∵ .,且BC過橢圓M的中心O(0,0),

又∵ ,

∴△AOC是以∠C為直角的等腰三角形,

易得C點坐標為(

將( , )代入①式得b2=4

∴橢圓M的方程為


(2)解:當直線l的斜率k=0,直線l的方程為y=t

則滿足題意的t的取值范圍為﹣2<t<2

當直線l的斜率k≠0時,設直線l的方程為y=kx+t

得(3k2+1)x2+6ktx+3t2﹣12=0

∵直線l與橢圓M交于兩點P、Q,

∴△=(6kt)2﹣4(3k2+1)(3t2﹣12)>0

即t2<4+12k2

設P(x1,y1),Q(x2,y2),x1+x2=﹣ ,x1x2=

PQ中點H(x0,y0),

則H的橫坐標 ,

縱坐標 ,

D點的坐標為(0,﹣2)

,

得DH⊥PQ,kDHkPQ=﹣1,

,

即t=1+3k2

∴k2>0,∴t>1.

由②③得0<t<4,

結(jié)合④得到1<t<4.

綜上所述,﹣2<t<4.


【解析】(1)根據(jù)點A的坐標求出a,然后根據(jù) 求出b,綜合即可求出橢圓M的方程.(2)根據(jù)題意設出直線方程,與(1)中M的方程聯(lián)立,然后運用設而不求韋達定理進行計算,求出實數(shù)t的取值范圍.
【考點精析】認真審題,首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:).

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