【題目】如圖所示，已知四邊形是菱形，平面平面，，.

（1）求證：平面平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面；

（2）設與交于點O，連接，可證平面.以O為坐標原點，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，即求二面角的余弦值.

（1）證明：菱形中，，

又平面平面，平面平面，

平面.又平面，

平面平面.

（2）設與交于點O，連接，因為，且，

四邊形是平行四邊形，.

，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面.

以O為坐標原點，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示

則，，，，

，.

設平面的法向量為，

則，即，令，則，

.

又平面的法向量為.

設二面角的大小為，則為銳角.

，

二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，討論極值點的個數(shù)；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市教育局為了監(jiān)控某校高一年級的素質(zhì)教育過程，從該校高一年級16個班隨機抽取了16個樣本成績，制表如下：

抽取次序

1

2

3

4

5

6

7

8

測評成績

95

96

96

90

95

98

98

97

抽取次序

9

10

11

12

13

14

15

16

測評成績

97

95

96

98

99

96

99

96

令為抽取的第個學生的素質(zhì)教育測評成績，，經(jīng)計算得，，，，以下計算精確到0.01.

（1）求的相關(guān)系數(shù)，并回答與是否可以認為具有較強的相關(guān)性；

（2）在抽取的樣本成績中，如果出現(xiàn)了在之外的成績，就認為本學期的素質(zhì)教育過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對本學期的素質(zhì)教學過程進行反思，同時對下學期的素質(zhì)教育過程提出指導性的建議，從該校抽樣的結(jié)果來看，是否需對本學期的素質(zhì)教學過程進行反思，同時對下學期的素質(zhì)教育過程提出指導性的建議？

附：樣本的相關(guān)系數(shù)，若，則可以認為兩個變量具有較強的線性相關(guān)性.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的長軸與短軸比值是2，橢圓C過點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點作圓x2+y2=1的切線交橢圓C于A，B兩點，記△AOB（O為坐標原點）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數(shù)，并求S△AOB的最大值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設點為圓上的動點，過點作軸的垂線，垂足為，動點滿足，記點的軌跡為．

（1）求曲線的方程；

（2）已知點，斜率為的直線與曲線交于不同的兩點，，且滿足，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】天津市某學校組織教師進行“學習強國”知識競賽，規(guī)則為：每位參賽教師都要回答3個問題，且對這三個問題回答正確與否相互之間互不影響，若每答對1個問題，得1分；答錯，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等獎分別給予獎勵．已知對給出的3個問題，教師甲答對的概率分別為，，p．若教師甲恰好答對3個問題的概率是，則________；在前述條件下，設隨機變量X表示教師甲答對題目的個數(shù)，則X的數(shù)學期望為________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著生活水平的提高和人們對健康生活的重視，越來越多的人加入到健身運動中.國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示，2019年有4億國人經(jīng)常參加體育鍛煉.某健身房從參與健身的會員中隨機抽取100人，對其每周參與健身的天數(shù)和2019年在該健身房所有消費金額（單位：元）進行統(tǒng)計，得到以下統(tǒng)計表及統(tǒng)計圖：

平均每周健身天數(shù)

不大于2

3或4

不少于5

人數(shù)（男）

20

35

9

人數(shù)（女）

10

20

6

若某人平均每周進行健身天數(shù)不少于5，則稱其為“健身達人”.該健身房規(guī)定消費金額不多于1600元的為普通會員，超過1600元但不超過3200元的為銀牌會員，超過3200元的為金牌會員.

（1）已知金牌會員都是健身達人，現(xiàn)從健身達人中隨機抽取2人，求他們均是金牌會員的概率；

（2）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別和是否為“健身達人”有關(guān)系？

（3）該健身機構(gòu)在2019年年底針對這100位消費者舉辦一次消費返利活動，現(xiàn)有以下兩種方案：

方案一：按分層抽樣從普通會員、銀牌會員和金牌會員中共抽取25位“幸運之星”，分別給予188元，288元，888元的幸運獎勵；

方案二：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：摸獎箱中裝有5張形狀大小完全一樣的卡片，其中3張印跑步機圖案、2張印動感單車圖案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一張，若摸到動感單車的總數(shù)為2，則獲得100元獎勵，若摸到動感單車的總數(shù)為3，則獲得200元獎勵，其他情況不給予獎勵.規(guī)定每個普通會員只能參加1次摸獎游戲，每個銀牌會員可參加2次摸獎游戲，每個金牌會員可參加3次摸獎游戲（每次摸獎結(jié)果相互獨立）.

請你比較該健身房采用哪一種方案時，在此次消費返利活動中的支出較少，并說明理由.

附：，其中為樣本容量.

0.50

0.25

0.10

0.05

0.010

0.005

0.455

1.323

2.706

3.841

6.636

7.879

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當，討論的零點個數(shù)；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】企業(yè)為了監(jiān)控某種零件的一條流水生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量，檢驗員從該生產(chǎn)線上隨機抽取100個零件，測量其尺寸（單位：）并經(jīng)過統(tǒng)計分析，得到這100個零件的平均尺寸為10，標準差為0.5.企業(yè)規(guī)定：若，該零件為一等品，企業(yè)獲利20元；若且，該零件為二等品，企業(yè)獲利10元；否則，該零件為不合格品，企業(yè)損失40元.

（1）在某一時刻內(nèi)，依次下線10個零件，如果其中出現(xiàn)了不合格品，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查若這10個零件的尺寸分別為9.6，10.5，9.8，10.1，10.7，9.4，10.9，9.5，10，10.9，則從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？

（2）將樣本的估計近似地看作總體的估計通過檢驗發(fā)現(xiàn)，該零件的尺寸服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

（i）從下線的零件中隨機抽取20件，設其中為合格品的個數(shù)為，求的數(shù)學期望（結(jié)果保留整數(shù)）

（ii）試估計生產(chǎn)10000個零件所獲得的利潤.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布,則，，.

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