【題目】隨著生活水平的提高和人們對健康生活的重視，越來越多的人加入到健身運(yùn)動(dòng)中.國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)顯示，2019年有4億國人經(jīng)常參加體育鍛煉.某健身房從參與健身的會(huì)員中隨機(jī)抽取100人，對其每周參與健身的天數(shù)和2019年在該健身房所有消費(fèi)金額（單位：元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表及統(tǒng)計(jì)圖：

平均每周健身天數(shù)

不大于2

3或4

不少于5

人數(shù)（男）

20

35

9

人數(shù)（女）

10

20

6

若某人平均每周進(jìn)行健身天數(shù)不少于5，則稱其為“健身達(dá)人”.該健身房規(guī)定消費(fèi)金額不多于1600元的為普通會(huì)員，超過1600元但不超過3200元的為銀牌會(huì)員，超過3200元的為金牌會(huì)員.

（1）已知金牌會(huì)員都是健身達(dá)人，現(xiàn)從健身達(dá)人中隨機(jī)抽取2人，求他們均是金牌會(huì)員的概率；

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別和是否為“健身達(dá)人”有關(guān)系？

（3）該健身機(jī)構(gòu)在2019年年底針對這100位消費(fèi)者舉辦一次消費(fèi)返利活動(dòng)，現(xiàn)有以下兩種方案：

方案一：按分層抽樣從普通會(huì)員、銀牌會(huì)員和金牌會(huì)員中共抽取25位“幸運(yùn)之星”，分別給予188元，288元，888元的幸運(yùn)獎(jiǎng)勵(lì)；

方案二：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：摸獎(jiǎng)箱中裝有5張形狀大小完全一樣的卡片，其中3張印跑步機(jī)圖案、2張印動(dòng)感單車圖案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一張，若摸到動(dòng)感單車的總數(shù)為2，則獲得100元獎(jiǎng)勵(lì)，若摸到動(dòng)感單車的總數(shù)為3，則獲得200元獎(jiǎng)勵(lì)，其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì).規(guī)定每個(gè)普通會(huì)員只能參加1次摸獎(jiǎng)游戲，每個(gè)銀牌會(huì)員可參加2次摸獎(jiǎng)游戲，每個(gè)金牌會(huì)員可參加3次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立）.

請你比較該健身房采用哪一種方案時(shí)，在此次消費(fèi)返利活動(dòng)中的支出較少，并說明理由.

附：，其中為樣本容量.

0.50

0.25

0.10

0.05

0.010

0.005

0.455

1.323

2.706

3.841

6.636

7.879

【答案】(1)；(2) 不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別和是否為“健身達(dá)人”有關(guān)系;(3) 采用方案二時(shí),在此次消費(fèi)返利活動(dòng)中的支出較少.

【解析】

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表分別求得金牌會(huì)員與健身達(dá)人的人數(shù),再根據(jù)組合的方法求解從健身達(dá)人中隨機(jī)抽取2人,他們均是金牌會(huì)員的概率即可.

(2)根據(jù)圖表分別求得非健身達(dá)人與健身達(dá)人中男女的人數(shù),再計(jì)算分析即可.

(3)先求得普通會(huì)員、銀牌會(huì)員與金牌會(huì)員的人數(shù),再分別計(jì)算方案一和方案二中的支出.方案一計(jì)算分層抽樣的各層次人數(shù)計(jì)算總支出,方案二中先計(jì)算一次摸獎(jiǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)學(xué)期望,再分析所有的總獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)學(xué)期望,再比較方案一、二的支出即可.

(1)由題意得,健身達(dá)人共人,金牌會(huì)員人數(shù)有人.又金牌會(huì)員都是健身達(dá)人,故從健身達(dá)人中隨機(jī)抽取2人,他們均是金牌會(huì)員的概率為.

(2)由圖表可知,非健身達(dá)人男性有：人,健身達(dá)人男性有：人；

非健身達(dá)人女性有：人,健身達(dá)人女性有：人.

列出列聯(lián)表有：

非健身達(dá)人

健身達(dá)人

總?cè)藬?shù)

人數(shù)（男）

55

9

64

人數(shù)（女）

30

6

36

總?cè)藬?shù)

85

15

100

故.

故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別和是否為“健身達(dá)人”有關(guān)系.

(3)由圖,普通會(huì)員有人,銀牌會(huì)員有人,金牌會(huì)員有人.

方案一：抽取的普通會(huì)員、銀牌會(huì)員與金牌會(huì)員分別有,,人.故共支出元.

方案二：摸一次獎(jiǎng)獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望為.

故總支出的數(shù)學(xué)期望為.

故采用方案二時(shí),在此次消費(fèi)返利活動(dòng)中的支出較少.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠改造一廢棄的流水線M，為評估流水線M的性能，連續(xù)兩天從流水線M生產(chǎn)零件上隨機(jī)各抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：記抽取的零件直徑為X.

第一天

直徑/mm

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合計(jì)

件數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

第二天

直徑/mm

58

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合計(jì)

件數(shù)

1

1

2

4

5

21

34

21

3

3

2

1

1

1

100

經(jīng)計(jì)算，第一天樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差第二天樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差

（1）現(xiàn)以兩天抽取的零件來評判流水線M的性能.

（i）計(jì)算這兩天抽取200件樣本的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到0.01）；

（ii）現(xiàn)以頻率值作為概率的估計(jì)值，根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判（P表示相應(yīng)事件的概率），①；②；③評判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級為優(yōu)；僅滿足其中兩個(gè)，則等級為良；若僅滿足其中一個(gè)，則等級為合格；若全部不滿足，則等級為不合格，試判斷流水線M的性能等級.

（2）將直徑X在范圍內(nèi)的零件認(rèn)定為一等品，在范圍以外的零件認(rèn)定為次品，其余認(rèn)定為合格品.現(xiàn)從200件樣本除一等品外的零件中抽取2個(gè)，設(shè)為抽到次品的件數(shù)，求分布列及其期望.

附注：參考數(shù)據(jù)：，，；

參考公式：標(biāo)準(zhǔn)差.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓： 經(jīng)過橢圓： 的左右焦點(diǎn)，且與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且三點(diǎn)共線，直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，且（）.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)三角形的面積取得最大值時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知四邊形是菱形，平面平面，，.

（1）求證：平面平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，C的準(zhǔn)線與E交于P，Q兩點(diǎn)，且．

（1）求E的方程；

（2）過E的左頂點(diǎn)A作直線l交E于另一點(diǎn)B，且BO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的延長線交E于點(diǎn)M，若直線AM的斜率為1，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)時(shí)恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在黨中央的正確領(lǐng)導(dǎo)下，通過全國人民的齊心協(xié)力，特別是全體一線醫(yī)護(hù)人員的奮力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙兩個(gè)地區(qū)采取防護(hù)措施后，統(tǒng)計(jì)了從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數(shù)，繪制成如圖折線圖：

（1）根據(jù)圖中甲、乙兩個(gè)地區(qū)折線圖的信息，寫出你認(rèn)為最重要的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論；

（2）新冠病毒在進(jìn)入人體后有一段時(shí)間的潛伏期，此期間為病毒傳播的最佳時(shí)期，我們把與病毒感染者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他病毒感染者，10天內(nèi)所有人不知情且生活照常．

（i）在不加任何防護(hù)措施的前提下，假設(shè)每位密切接觸者被感染的概率均為．第一天，若某位感染者產(chǎn)生名密切接觸者則第二天新增感染者平均人數(shù)為ap；第二天，若每位感染者都產(chǎn)生a名密切接觸者，則第三天新增感染者平均人數(shù)為；以此類推，記由一名感染者引發(fā)的病毒傳播的第n天新增感染者平均人數(shù)為．寫出，；

（ii）在（i）的條件下，若所有人都配戴口罩后，假設(shè)每位密切接觸者被感染的概率均為，且滿足關(guān)系，此時(shí)，記由一名感染者引發(fā)的病毒傳播的第n天新增感染者平均人數(shù)為．當(dāng)最大，且時(shí)，根據(jù)和的值說明戴口罩的必要性．（精確到）

參考公式：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；

參考數(shù)據(jù)：，，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

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