Question

【題目】已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】m＜﹣3

【解析】

令t=f（x），則原函數(shù)y等價(jià)為y=2t2+3mt+1﹣2m，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)和二次方程問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，討論t的范圍，從而確定m的取值范圍．

令t=f（x），則原函數(shù)等價(jià)為y=2t2+3mt+1﹣2m，

作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，

圖象可知：

當(dāng)t＜0時(shí)，函數(shù)t=f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)t=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有四個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

要使關(guān)于x的函數(shù)y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6個(gè)不同的零點(diǎn)，

則方程2t2+3mt+1﹣2m=0有兩個(gè)根t1，t2，

且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，

令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，則由根的分布可得，

將t=1，代入g（t）=0得m=﹣3，

此時(shí)2t2﹣9t+7=0的另一個(gè)根為t=，不滿足t1=0，t2=1，

若0＜t1＜1，t2＞1，則

即

解得m＜﹣3，

故答案為：m＜﹣3