Question

【題目】已知函數(shù)，．，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）如果函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；

（2）若直線是函數(shù)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)k的值；

（3）設(shè)，，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）1（3）見解析。

【解析】

（1）依題意h′（x）=ex﹣2mx≥0（0，+∞）上恒成立．即在（0，+∞）上恒成立．即求函數(shù)的最小值即可;（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為則進(jìn)而得到，令對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)即可得到k值（3）：要證，只要證，兩邊同時(shí)除以令x2﹣x1=t，t＞0，即證（t﹣2）et+t+2＞0，利用=（t﹣2）et+t+2，（t＞0）單調(diào)性即可證明

：（1），

要使在上單調(diào)遞增，則在上恒成立.

∴，∴，令，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

∴當(dāng)x=1時(shí)，有最小值為，∴

（2）∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為，則

∴，令，

∴時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)k＞1時(shí)，，單調(diào)遞增

∴k＝1時(shí)，，∴時(shí)，k＝1.∴實(shí)數(shù)k的值為1.

（3）要證

只要證，兩邊同時(shí)除以得：

，令得：

所以只要證：，令

∴，，∴

即，∴原不等式成立.