Question

【題目】如圖，已知垂直于梯形所在的平面，，為的中點(diǎn)，，.若四邊形為矩形，線段與交于點(diǎn).

（1）證明：∥平面.

（2）求二面角的大小。

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（3）在線段上存在一點(diǎn)，且

【解析】

試題（1）連接在中，由題設(shè)知分別為中點(diǎn)，所以由此可證// 平面；

（2）如圖以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量的數(shù)量積求出平面ABC和平面PBC的法向量的坐標(biāo)，由法向量的夾角公式求出求二面角的大小；

（3）首先假設(shè)存在點(diǎn)Q滿足條件．由設(shè)，再利用向量的夾角公式確定的值．

試題解析：解：（Ⅰ)連接在中，分別為中點(diǎn)，所以

因?yàn)?/span>

所以4分

（2）如圖以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系5分

則

設(shè)平面的法向量為則

即解得

令，得所以7分

因?yàn)槠?/span>

所以，

由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角的大小為9分

（3）設(shè)存在點(diǎn)Q滿足條件．

由設(shè)，

整理得，11分

因?yàn)橹本�與平面所成角的大小為，

所以， 13分

則知，即點(diǎn)與E點(diǎn)重合．

故在線段上存在一點(diǎn)，且14分