Question

力綜合治理交通擁堵狀況，緩解機動車過快增長勢頭，一些大城市出臺了“機動車搖號上牌”的新規(guī)．某大城市2014年初機動車的保有量為600萬輛，預(yù)計此后每年將報廢本年度機動車保有量的5%，且報廢后機動車的牌照不再使用，同時每年投放10萬輛的機動車牌號，只有搖號獲得指標的機動車才能上牌，經(jīng)調(diào)研，獲得搖號指標的市民通常都會在當(dāng)年購買機動車上牌．
（Ⅰ）問：到2018年初，該城市的機動車保有量為多少萬輛；
（Ⅱ）根據(jù)該城市交通建設(shè)規(guī)劃要求，預(yù)計機動車的保有量少于500萬輛時，該城市交通擁堵狀況才真正得到緩解．問：至少需要多少年可以實現(xiàn)這一目標．（參考數(shù)據(jù)：0.95⁴=0.81，0.95⁵=0.77，lg0.75=-0.13，lg0.95=-0.02）

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)2012年年初機動車保有量為a₁萬輛，由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n-200}是以400為首項，0.95為公比的等比數(shù)列，由此能求出2016年初機動車保有量．
（Ⅱ）由題意知，an=400•0.95n-1+200＜500，由此能求出至少需要8年時間才能實現(xiàn)目標．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)2012年年初機動車保有量為a₁萬輛，
以后各年年初機動車保有量依次為a₂萬輛，a₃萬輛，…，每年新增機動車10萬輛，
則a₁=600，a_n+1=0.95a₁+10，
又a_n+1-200=0.95（a_n-200），
且a₁-200=600-200=400，
∴數(shù)列{a_n-200}是以400為首項，0.95為公比的等比數(shù)列，
∴an-200=400•0.95n-1，即an=400•0.95n-1+200，
∴2018年初機動車保有量為a5=400•0.954+200=524萬輛．
（Ⅱ）由題意知，an=400•0.95n-1+200＜500，
即0.95^n-1＜0.75，
∴n＞

lg0.75

lg0.95

+1=7.5．
故至少需要8年時間才能實現(xiàn)目標．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用．