Question

已知向量：

a

=（2cos（x-

π

6

），2sin（x-

π

4

）），

b

=（cos（x-

π

6

），sin（x+

π

4

）），（x∈R），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的對稱性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由數(shù)量積和三角函數(shù)的運算化簡可得f（x）=sin(2x-

π

6

)，易得周期和對稱軸方程；（2）由x∈[-

π

12

，

π

2

]可得2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，由三角函數(shù)的單調(diào)性可得值域．

解答： 解：（1）∵

a

=（2cos（x-

π

6

），2sin（x-

π

4

）），

b

=（cos（x-

π

6

），sin（x+

π

4

）），
∴f（x）=

a

•

b

-1=2cos²（x-

π

6

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）-1
=2cos²（x-

π

6

）-1-2sin（

π

4

-x）cos（

π

4

-x）
=cos（2x-

π

3

）-sin（

π

2

-2x）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），得x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）．
∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]．
∵f（x）=sin(2x-

π

6

)在區(qū)間[-

π

12

，

π

3

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

π

3

，

π

2

]上單調(diào)遞減，
∴當x=

π

3

時，f（x）取得最大值1，又∵f(-

π

12

)=-

3

2

＜f(

π

2

)=

1

2

，
∴當x=-

π

12

時，f（x）取得最小值-

3

2

．
∴函數(shù)f（x）在[-

π

12

，

π

2

]上的值域為[-

3

2

，1]

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)公式，涉及向量的運算和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．