Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)．

（1）求異面直線EB與AC所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)E到面ABC的距離．
（3）求二面角E-AB-C的平面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,二面角的平面角及求法

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出

EB

=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1）
可得cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

；
（2）求出平面ABC的法向量

n

=（1，1，2），即可點(diǎn)E到面ABC的距離d=

| EC • n |

| n |

；
（3）求出平面EAB的法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）
∴

EB

=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1）
∴cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

，
∴異面直線BE與AC所成角的余弦為

2

5

；
（2）設(shè)平面ABC的法向量為

n

=（x，y，z），則
∵

AB

=（2，0，-1），

AC

=（0，2，-1），
∴

2x-z=0 2y-z=0

，
∴取

n

=（1，1，2）
又

EC

=（0，1，0），
∴點(diǎn)E到面ABC的距離d=

| EC • n |

| n |

=

6

6

；
（3）（2）中已求平面ABC的法向量

n

=（1，1，2），
設(shè)平面EAB的法向量為

m

=（a，b，c），則
∵

AE

=（0，1，-1），

AB

=（2，0，-1），
∴

y-z=0 2x-z=0

∴取

m

=（1，2，2），
∴cos＜

n

，

m

＞=

7 6

18

設(shè)二面角E-AB-C的平面角為θ，則tanθ=

5

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了空間中異面直線所成的角和平面與平面所成的角，屬立體幾何中的常考題型，較難．解題的關(guān)鍵是首先正確的建立空間直角坐標(biāo)系然后可將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)的向量的夾角或其補(bǔ)角．