Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點(diǎn)，求三角形AF₁B的周長(zhǎng)；
（2）已知點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F₁、F₂為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義可得：|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，并且|AF₂|+|BF₂|=|AB|，進(jìn)而得到答案；
（2）根據(jù)已知中，點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一點(diǎn)，以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，根據(jù)該三角形的底邊|F₁F₂|=2，我們易求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得到答案．

解答： 解：（1）根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可得：|AF₁|+|AF₂|=2a=4，并且|BF₁|+|BF₂|=2a=，4，
又因?yàn)閨AF₂|+|BF₂|=|AB|，
所以△AF₁B的周長(zhǎng)為：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=8；
（2）因?yàn)槭菣E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1，故|F₁F₂|=2
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
∵P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一點(diǎn)，由以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，
則y=±1，x=±

2 6

3

．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(±

2 6

3

，±1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用，其中判斷出以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的底邊|F₁F₂|=2，是解答本題的關(guān)鍵．