Question

給定正整數(shù)k≥3，若項數(shù)為k的數(shù)列{a_n}滿足：對任意的i=1、2、…、k，均有a_i≤

Sk

k-1

（其中S_k=a₁+a₂+…+a_k），則稱數(shù)列{a_n}為“Γ數(shù)列”．
（Ⅰ）判斷數(shù)列-1，3，5，2，4和

3

4

，

32

42

，

33

43

是否是“Γ數(shù)列”，并說明理由；
（Ⅱ）若{a_n}為“Γ數(shù)列”，求證：a_i≥0對i=1，2，…，k恒成立；
（Ⅲ）設(shè){b_n}是公差為d的無窮項等差數(shù)列，若對任意的正整數(shù)m≥3，b₁，b₂，…，b_m均構(gòu)成“Γ數(shù)列”，求{b_n}的公差d．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)“Γ數(shù)列”的定義，即可判斷數(shù)列-1，3，5，2，4和

3

4

，

32

42

，

33

43

是否是“Γ數(shù)列”，
（Ⅱ）若{a_n}為“Γ數(shù)列”，利用反證法即可證明：a_i≥0對i=1，2，…，k恒成立；
（Ⅲ）

解答： 解：（Ⅰ）①因為

S5

5-1

=

13

4

＜5，數(shù)列-1，3，5，2，4不是“Γ數(shù)列，
②因為

S3

3-1

=

111

128

＞

3

4

，又

3

4

是數(shù)列

3

4

，

32

42

，

33

43

中的最大項
所以數(shù)列

3

4

，

32

42

，

33

43

是“Γ數(shù)列”．
（Ⅱ）反證法證明：
假設(shè)存在某項a_i＜0，則
a₁+a₂+…+a_i-1+a_i+1+…+a_k-1+a_k=S_k-a_i＞S_k．
設(shè)a_j=max{a₁，a₂，…a_i-1，a_i+i…，a_k-1+a_k}，
則S_k-a_i=a₁+a₂+…+a_i-1+a_i+1+…+a_k-1+a_k≤（k-1）a_j，
所以（k-1）a_j＞S_k，即a_j＞

Sk

k-1

，
這與“Γ數(shù)列”定義矛盾，所以原結(jié)論正確．
（Ⅲ）由（Ⅱ）問可知b₁≥0，d≥0．
①當(dāng)d=0時，b₁=b₂=…=b_m=

Sm

m

＜

Sm

m-1

，符合題設(shè)；
②當(dāng)d＞0時，b₁＜b₂＜…＜b_m，
由“Γ數(shù)列”的定義可知b_m≤

Sm

m-1

，即（m-1）[b₁+（m-1）d]≤mb₁+

1

2

m（m-1）d，
整理得（m-1）（m-2）d≤2b₁（*）
顯然當(dāng)m=2b₁+3時，上述不等式（*）就不成立
所以d＞0時，對任意正整數(shù)m≥3，（m-1）（m-2）d≤2b₁不可能都成立．
綜上討論可知{b_n}的公差d=0．

點評：本題主要考查數(shù)列新定義的應(yīng)用，正確理解“Γ數(shù)列”的定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．