Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M為正方形AA₁D₁D的中心，N為棱AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）求四棱錐N-BB₁D₁D的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)O，連接OM，ON，證明OM∥D₁D，ON∥BD，可得平面MON∥平面BB₁D₁D，即可證明MN∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）求出N到平面BB₁D₁D的距離，即可求四棱錐N-BB₁D₁D的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取AD中點(diǎn)O，連接OM，ON，
∵M(jìn)為正方形AA₁D₁D的中心，N為棱AB的中點(diǎn)，
∴OM∥D₁D，ON∥BD，
∵OM∩ON=O，D₁D∩BD=D，
∴平面MON∥平面BB₁D₁D，
∵M(jìn)N?平面MON，
∴MN∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）解：N到平面BB₁D₁D的距離為

2

4

•2=

2

2

，
∴四棱錐N-BB₁D₁D的體積為

1

3

•

2

•2•

2

2

=

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查四棱錐N-BB₁D₁D的體積，正確運(yùn)用面面平行的判定與性質(zhì)定理是關(guān)鍵．