Question

如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，且FD=

1

2

EA=1．
（Ⅰ）求多面體EABCDF的體積；
（Ⅱ）求證：平面EAB⊥平面EBC；
（Ⅲ）記線段CB的中點為K，在平面ABCD內(nèi)過K點作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接ED，由已知條件推導(dǎo)出FD⊥底面ABCD，AD⊥面FDC，由此能求出多面體EABCDF的體積．
（Ⅱ）由已知條件得AB⊥BC，BC⊥EA，從而得到BC⊥平面EAB，由此能證明平面EAB⊥平面EBC．
（Ⅲ）取線段DC的中點Q，連接KQ，直線KQ即為所求．

解答： （Ⅰ）解：如圖，連接ED，
∵EA⊥底面ABCD，且FD∥EA，∴FD⊥底面ABCD，
∴FD⊥AD，
∵DC⊥AD，F(xiàn)D∩CD=D，
∴AD⊥面FDC，…（1分）
∴V_E-FCD=

1

3

AD•S△FDC=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，…（2分）
V_E-ABCD=

1

3

EA•SABCD=

1

3

×2×2×2=

8

3

，（3分）
∴V_多面體=V_E-FCD+V_E-ABCD=

10

3

．（5分）
（Ⅱ）證明：∵ABCD為正方形，∴AB⊥BC．（6分）
∵EA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥EA．（7分）
又AB∩EA=A，∴BC⊥平面EAB．（8分）
又∵BC?平面EBC，
∴平面EAB⊥平面EBC．（10分）
（Ⅲ）解：取線段DC的中點Q，連接KQ，
則直線KQ即為所求．…（11分）
圖上有正確的作圖痕跡…（12分）

點評：本題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力．