Question

已知函數(shù)f（x）=2

2

sin²（

π

4

+x）-

2

（cos2x+1）（x∈R）．

（1）用“五點法”作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

9π

8

]上的簡圖；
（2）當(dāng)x∈（

π

4

，

π

2

）時，恒有-3＜f（x）-m＜3成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin(2x-

π

4

)，列表描點可得圖象，
（2）由x的范圍可得f（x）的范圍，問題于x∈(

π

4

，

π

2

)時，m-3＜f（x）＜m+3，由恒成立可得m的不等式組，解不等式組可得．

解答： 解：化簡可得f(x)=2

2

sin2(

π

4

+x)-

2

(cos2x+1)
=2

2

×

1-cos( π 2 +2x)

2

-

2

cos2x-

2

=

2

sin2x-

2

cos2x=2sin(2x-

π

4

)
（1）列表：

x	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	9π 8
2x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
f（x）	0	2	0	-2	0

 
（2）由x∈（

π

4

，

π

2

）可得

π

4

＜2x-

π

4

＜

3π

4

，
∴

2

＜2sin（2x-

π

4

）≤2，
∴當(dāng)x∈（

π

4

，

π

2

）時，恒有-3＜f（x）-m＜3成立，
等價于x∈(

π

4

，

π

2

)時，m-3＜f（x）＜m+3，
∴

m-3≤ 2 m+3＞2

，解得-1＜m≤3+

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬中檔題．