在雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1中，過焦點垂直于實軸的弦長為
2
3
3
，焦點到一條漸近線的距離為1，
（1）求該雙曲線的方程；
（2）若直線L：y=kx+m（m≠0，k≠0）與雙曲線C交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過雙曲線C的右頂點．求證：直線L過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用過焦點垂直于實軸的弦長為
2
3
3
，焦點到一條漸近線的距離為1，建立方程，求出a，b，即可求該雙曲線的方程；
（2）聯(lián)立直線L：y=kx+m（m≠0，k≠0）與雙曲線，利用韋達定理，結(jié)合以AB為直徑的圓過雙曲線的右頂點M（
3
，0），即可證明直線L過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
解答： 解：（1）由題意，得
2b2
a
=
2
3
3
，
bc
a2+b2
=1，
解得：a=
3
，b=1，
∴所求雙曲線方程為
x2
3
-y2=1．
（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），
聯(lián)立直線L：y=kx+m（m≠0，k≠0）與雙曲線，得（1-3k2）x2-6kmx-3（m2+1）=0，
△＞0，化簡，得m2+1-3k2＞0，
∴x1+x2=
6km
1-3k2
，x1x2=-
3(m2+1)
1-3k2
，
∵以AB為直徑的圓過雙曲線的右頂點M（
3
，0），
∴
MA
•
MB
=0，
即（x1-
3
）（x2-
3
）+y1y2=0，
即（k2+1）x1x2+（km-
3
）（x1+x2）+m2+3=0，
整理，得m2+3
3
km+6k2=0，
∴m=-
3
k或m=-2
3
k，
當(dāng)m=-
3
k時，L的方程為y=k（x-
3
），直線過定點（
3
，0），與已知矛盾；
當(dāng)m=-2
3
k時，L的方程為y=k（x-2
3
），直線過定點（2
3
，0）； 
∴直線L過定點，定點坐標(biāo)為（2
3
，0）．
點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)與方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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函數(shù)y=-2-x-2的圖象經(jīng)過
 
象限．

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求下列函數(shù)的值域：
（1）y=
x
+1；                       
（2）y=
1-x2
1+x2
；
（3）y=-x2+4x-7，x∈{0，1，2，3，4}；      
（4）y=-x2+4x-7（x∈[0，3]）

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已知全集合S={x∈N+|-2＜x＜9}，M={3，4，5}，P={1，3，6}，那么{2，7，8}是（　�。�
A、M∪P
B、M∩P
C、（∁SM）∪（∁SP）
D、（∁SM）∩（∁SP）

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已知函數(shù)f（x）=|x2-2|，0＜m＜n，且f（m）=f（n），則m+n的取值范圍是（　�。�
A、（0，2）
B、（2
2
，4）
C、（
2
，2）
D、（2，2
2
）

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在△ABC中，a=12，A=60°，b=4
6
，則B=
 
．

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在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若acos2
C
2
+ccos2
A
2
=
3b
2
，求證：a+c=2b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
kx+2，x≤0
lnx，x＞0
（k∈R）．若函數(shù)y=|f（x）|+k有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�
A、k≤-2
B、-2≤k＜-1
C、-1＜k＜0
D、k≤2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-ax3+x2-
ax
9
在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-
3
]∪[
3
，+∞）
B、[-
3
，
3
]
C、[
3
，+∞）
D、（-∞，
3
]

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