Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x+

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）若x∈[

5

24

π，

3

4

π]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，c=

3

，f（C）=1，且sinB=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，借助于二倍角公式，化簡函數(shù)解析式：f（x）=sin（2x-

π

6

），然后，結(jié)合x∈[

5

24

π，

3

4

π]進(jìn)行求解；
（Ⅱ）根據(jù)f（C）=1，得到C=

π

3

，然后，結(jié)合正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x+

1

2

，
∴f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=sin（2x-

π

6

），
∴f（x）=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[

5

24

π，

3

4

π]，
∴（2x-

π

6

）∈[

π

4

，

4π

3

]，
∴當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）max=1，
∴當(dāng)2x-

π

6

=

4π

3

，即x=

3π

4

時，f（x）min=-

3

2

；
（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）=1，
∴sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，
∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

3

，
∵sinB=2sinA，
∴根據(jù)正弦定理，得b=2a，①
根據(jù)余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos

π

3

，
∴c²=a²+b²-ab，②
根據(jù)①②，解得a=1，b=2．

點(diǎn)評：.本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換、三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理等知識，屬于中檔題．