Question

定義函數(shù)y=f（x），x∈D（D為定義域）圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的y=f（x），x∈D的模．若模存在最大值，則稱(chēng)之為函數(shù)y=f（x），x∈D的長(zhǎng)距；若模存在最小值，則稱(chēng)之為函數(shù)y=f（x），x∈D的短距．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=

1

x

是否存在長(zhǎng)距與短距，若存在，請(qǐng)求出；
（2）判斷函數(shù)f₂（x）=

-x2-4x+5

是否存在長(zhǎng)距與短距，若存在，請(qǐng)求出；
（3）對(duì)于任意x∈[1，2]都存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,基本不等式

專(zhuān)題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可以由基本不等式及長(zhǎng)距和短距的定義求出，（2）求出函數(shù)的最大最小值即可，（3）將a進(jìn)行分類(lèi)討論通過(guò)解不等式求出a的 范圍即可．

解答： 解：（1）設(shè)u(x)=

x2+ 1 x2

≥

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=±1取得等號(hào)），
f₁（x）短距為

2

，長(zhǎng)距不存在．
（2）設(shè)v(x)=

x2+(-x2-4x+5)

=

5-4x

，x∈[-5，1]，
v（x）_min=v（1）=1v（x）_max=v（-5）=5，
f₂（x）短距為1，長(zhǎng)距為5．
（3）設(shè)h(x)=

x2+2x|x-a|

，x∈[1，2]，
函數(shù)f(x)=

2x|x-a|

的短距不小于2
即x²+2x|x-a|≥4對(duì)于x∈[1，2]始終成立：
當(dāng)a＞2時(shí)：a≥

1

2

(x+

4

x

)對(duì)于x∈[1，2]始終成立，
∴a≥

5

2

，
當(dāng)1≤a≤2時(shí)：取x=a即可知顯然不成立
當(dāng)a＜1時(shí)：a≤

1

2

(3x-

4

x

)對(duì)于x∈[1，2]始終成立 
∴a≤-

1

2

綜上所述：a的范圍是：（-∞，-

1

2

]∪[

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題新定義了長(zhǎng)距和短距，屬于新定義問(wèn)題，用到了基本不等式及函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道中檔題．