Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n}的前n項和為T_n，且滿足T_n=

3

2

S_n-3n，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）記b_n=

2an

(an-2)2

，n∈N^*，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題

分析：（1）將n=1代入T_n=

3

2

S_n-3n，求出a₁的值；
（2）根據(jù)當(dāng)n≥2時，S_n=T_n-T_n-1求出Sn=

3

2

an-3仿寫作差得出數(shù)列{a_n}是以6為首項，3為公比的等比數(shù)列，求出通項公式；
（3）當(dāng)n=1時，b1=

3

4

＜1；當(dāng)n≥2時，b_n=

2an

(an-2)2

=

4×3n

(2×3n-2)2 (    ) (    )

=

3n

(3n-1)2

＜

3n

(3n-1)(3n-3)

=

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)通過裂項相消證出不等式．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，T1=

3

2

S1-3，
∵T₁=S₁=a₁
，∴a1=

3

2

a1-3
解得a₁=6
（2）當(dāng)n≥2時，S_n=T_n-T_n-1=

3

2

S_n-3n-[

3

2

Sn-1-3(n-1)]=

3

2

Sn-

3

2

Sn-1-3
∴Sn=

3

2

an-3①
∴Sn-1=

3

2

an-1-3①
由②-①得a_n=3a_n-1
∴數(shù)列{a_n}是以6為首項，3為公比的等比數(shù)列
，∴an=6•3n-1=2•3n
（3）當(dāng)n=1時，b1=

3

4

＜1
當(dāng)n≥2時，b_n=

2an

(an-2)2

=

4×3n

(2×3n-2)2

=

3n

(3n-1)2

＜

3n

(3n-1)(3n-3)

=

3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

2

[

(3n-1)-(3n-1-1)

(3n-1)(3n-1-1)

]
=

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)
∴b₁+b₂+…+b_n＜b1+

1

2

(

1

31-1

-

1

32-1

)+

1

2

(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)
＜

3

4

+

1

2

(

1

3-1

-

1

3n-1

)＜1

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項的求法、考查了放縮法證明不等式及裂項相消的數(shù)列求和的方法；屬于一道綜合題．