Question

給出下列四個命題：
（1）“cosα=-

3

2

”是“α=2kπ+

5π

6

，k∈Z”的必要不充分條件；
（2）終邊在y軸上的角的集合是{a|a=

kπ

2

，k∈Z}．
（3）函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的一個單調(diào)增區(qū)間是[-

π

12

，

5π

12

]；
（4）設(shè)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，則f（x）是偶函數(shù)的充要條件是f′（0）=0；
（5）為得到函數(shù)y=cos（2x+

π

3

）的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

5π

12

個長度單位．
其中真命題的序號是

 

（把所有真命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）解出cosα=-

3

2

，再由充分必要條件的定義即可判斷；
（2）求出終邊在y軸上的角的集合，注意分正半軸和負(fù)半軸，再合并，即可判斷；
（3）運用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出x的范圍，再令k，即可判斷；
（4）根據(jù)偶函數(shù)的定義，化簡三角函數(shù)式，得到cosφ=0，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f′（0）=0則cosφ=0，從而加以判斷；
（5）根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)律，向左右平移，是針對自變量x而言，必須提取系數(shù)，然后運用誘導(dǎo)公式，即可判斷．

解答： 解：（1）由cosα=-

3

2

得α=2kπ+

5π

6

或2kπ+

7π

6

，k∈Z，故“cosα=-

3

2

”是“α=2kπ+

5π

6

，k∈Z”的必要不充分條件，故（1）正確；
（2）終邊在y軸上的角的集合為{α|α=2kπ+

π

2

或2kπ+

3π

2

，k∈Z}={α|α=kπ+

π

2

，k∈Z}，故（2）錯；
（3）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，則kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，則函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z，當(dāng)k=0時，即為區(qū)間[-

π

12

，

5π

12

]，故（3）正確；
（4）設(shè)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，則f（x）是偶函數(shù)，有f（-x）=f（x），即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），化簡得cosφ=0，又f′（x）=ωcos（ωx+φ），若f′（0）=0則cosφ=0，故f（x）是偶函數(shù)的充要條件是f′（0）=0，即（4）正確；
（5）將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

5π

12

個長度單位，得到函數(shù)y=sin2（x+

5π

12

）即y=sin（2x+

π

2

+

π

3

），即y=cos（2x+

π

3

），故（5）正確．
故答案為：（1）（3）（4）（5）．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，記熟三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，圖象變換規(guī)律是解決該類題的關(guān)鍵．