Question

已知雙曲線的方程為5x²-4y²=20兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂．
（1）求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；
（2）若橢圓與此雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且有一公共點(diǎn)P滿足|PF₁|•|PF₂|=6，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題

分析：（1）雙曲線的方程為5x²-4y²=20可化為

x2

4

-

y2

5

=1，可得a=2，b=

5

，即可求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；
（2）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|-|PF₂|=4，可得|PF₁|=a+2，|PF₂|=a-2，根據(jù)|PF₁|•|PF₂|=6，求出a，即可得出橢圓的方程．

解答： 解：（1）雙曲線的方程為5x²-4y²=20可化為

x2

4

-

y2

5

=1，
∴a=2，b=

5

，
∴c=

a2+b2

=3，
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（±3，0），漸近線方程為y=±

5

2

x；
（2）由題意，設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則不妨設(shè)|PF₁|＞|PF₂|，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|-|PF₂|=4，
∴|PF₁|=a+2，|PF₂|=a-2，
∵|PF₁|•|PF₂|=6，
∴（a+2）（a-2）=6，
∴a²=10，
∵c=3，
∴b²=1，
∴橢圓的方程為

x2

10

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查橢圓方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．