Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，且與直線y=x-

3

相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左、右頂點分別為A，B，過點P（3，0）的直線l與橢圓C交于兩點M，N（M在N的右側），直線AM，BN相交于點Q，求證：點Q在一條定直線上．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由橢圓的焦距為2得到a和b的關系，再由直線與橢圓相切，聯(lián)立方程組后由判別式等于0得到關于a的方程，從而求得a²的值，則b²可求，橢圓的方程可求；
（2）設出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系求得M，N兩點的橫坐標的和與積，用M，N的坐標表示出直線AM和BN的方程，兩直線方程聯(lián)立后消去y，結合前面的根與系數(shù)關系整體運算求得x值為定值，從而證明點Q在一條定直線上．

解答： （1）解：∵橢圓的焦距為2，
∴b²=a²-1且a²＞1，
于是橢圓方程為（a²-1）x²+a²y²-a²（a²-1）=0．
將y=x-

3

代入得(2a2-1)x2-2

3

a2x+4a2-a4=0．
∵直線與橢圓相切，
∴△=(-2

3

a2)2-4(2a2-1)(4a2-a4)=0．
即a⁴-3a²+2=0．
∵a²＞1，
∴a²=2，則b²=1．
故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1；                                           
（2）證明：由題意可設直線l的方程為y=k（x-3），
聯(lián)立方程

y=k(x-3) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-12k²x+2（9k²-1）=0．
∵直線l與橢圓C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，
∴△=144k⁴-8（2k²+1）（9k²-1）＞0⇒k2＜

1

7

，
由韋達定理得x1+x2=

12k2

2k2+1

，x1x2=

2(9k2-1)

2k2+1

，
則(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
=

144k4

(2k2+1)2

-

8(9k2-1)

2k2+1

=

8-56k2

(2k2+1)2

．
又M在N的右側，
∴x2-x1=-

2 2

1+2k2

1-7k2

，
∵A(-

2

，0)，B(

2

，0)，
∴lAM：y=

y1

x1+ 2

(x+

2

)，lAN：y=

y2

x2- 2

(x-

2

)．
設直線AM、BN相交于點Q（x，y），
由上面兩直線方程消去y得：

x+ 2

x- 2

=

y2

y1

•

x1+ 2

x2- 2

⇒

x+ 2

x- 2

=

k(x2-3)(x1+ 2 )

k(x1-3)(x2- 2 )

=

x1x2-3x1+ 2 x2-3 2

x1x2-3x2- 2 x1+3 2

⇒

x

2

=

2x1x2-3(x1+x2)+ 2 (x2-x1)

2 (x1+x2)-6 2 +3(x2-x1)

=

4(9k2-1) 2k2+1 - 36k2 2k2+1 - 4 1-7k2 2k2+1

12 2 2k2+1 -6 2 - 6 2 1-7k2 2k2+1

⇒

x

2

=

-4-4 1-7k2

-6 2 -6 2 1-7k2

=

2

3

⇒x=

2

3

．
故點Q在定直線x=

2

3

上．

點評：本題主要考查橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系求解是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．