Question

在平面直角坐標系中，已知

a

=(2mx，y-1)，

b

=(2x，y+1)，其中m∈R，

a

⊥

b

，動點M（x，y）的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程，并說明該軌跡方程所表示曲線的形狀；
（2）當m=

1

8

時，設過定點P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用

a

⊥

b

，

a

=(2mx，y-1)，

b

=(2x，y+1)，可得

a

•

b

=4mx2+y2-1=0，即4mx²+y²=1，分類討論，可求軌跡方程所表示曲線的形狀；
（2）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及∠AOB為銳角，建立不等式，即可求得直線l的斜率k的取值范圍．

解答： 解：（1）因為

a

⊥

b

，

a

=(2mx，y-1)，

b

=(2x，y+1)
所以

a

•

b

=4mx2+y2-1=0，即4mx²+y²=1..（2分）
當m=0時，方程表示兩直線，方程為y=±1；
當m=

1

4

時，方程表示的是圓
當m＞0且m≠

1

4

時，方程表示的是橢圓；
當m＜0時，方程表示的是雙曲線．…..（6分）
（2）當m=

1

8

時，軌跡C的方程為

x2

2

+y2=1，
顯然直線l的斜率是存在的，可設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），…..（7分）
聯(lián)立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，消去y，整理得：（2k²+1）x²+8kx+6=0
∴x1+x2=-

8k

2k2+1

，x1•x2=

6

2k2+1

…..（9分）
由△=（8k）²-4（2k²+1）×6＞0，即2k²-3＞0得：k＜-

6

2

或k＞

6

2

①…..（10分）
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=

6k2

2k2+1

-

16k2

2k2+1

+4=

4-2k2

2k2+1

…..（11分）
∵∠AOB為銳角，
∴cos∠AOB＞0，
∴

OA

•

OB

＞0，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

6

2k2+1

+

4-2k2

2k2+1

=

10-2k2

2k2+1

＞0
即k²-5＜0，
∴-

5

＜k＜

5

…..（13分）
故由①、②得-

5

＜k＜-

6

2

或

6

2

＜k＜

5

…..（14分）

點評：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，以及綜合應用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力．本題為中檔題，需要熟練運用設而不求韋達定理．