Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，a為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線與x軸平行，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，試比較f（m）與f（

1

m

）的大�。�
（3）若函數(shù)f（x）有兩個零點x₁、x₂，試證明x₁x₂＞e²．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x=1時的導(dǎo)數(shù)值等于0求得a的值；
（2）把a=1代入函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)h(m)=f(m)-f(

1

m

)，由導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)h（m）的單調(diào)性，在定義域內(nèi)分m＜1，m=1，m＞1得到h（m）的符號，從而得到f（m）與f（

1

m

）的大��；
（3）由函數(shù)f（x）有兩個零點x₁、x₂，得到lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，進(jìn)一步得到

lnx1-lnx2

x1-x2

=a，lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），把證明x₁x₂＞e²轉(zhuǎn)化為證lnx₁+lnx₂＞2，結(jié)合lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）轉(zhuǎn)化為證明ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

（x₁＞x₂），換元后利用導(dǎo)數(shù)得到證明．

解答： （1）解：由f（x）=lnx-ax，得：f′(x)=

1

x

-a，
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=1-a=0，即a=1；
（2）解：當(dāng)a=1時，f（x）=lnx-x，
∴f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
令h(m)=f(m)-f(

1

m

)=lnm-m-(ln

1

m

-

1

m

)=2lnm-m+

1

m

，
則h′(m)=

2

m

-1-

1

m2

=

-m2+2m-1

m2

=-(

m-1

m

)2≤0．
又∵h(yuǎn)（1）=0，
①當(dāng)0＜m＜1時，h（m）＞0，即f(m)＞f(

1

m

)；
②當(dāng)m=1時，h（m）=0f(m)=f(

1

m

)；
③當(dāng)m＞1時，h（m）＜0即f(m)＜f(

1

m

)；
（3）證明：∵函數(shù)f（x）有兩個零點x₁、x₂，
∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
∴

lnx1-lnx2

x1-x2

=a，
欲證明x1x2＞e2，即證lnx₁+lnx₂＞2，
∵lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），
∴即證a＞

2

x1+x2

，
∴原命題等價于證明

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

，
即證：ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

（x₁＞x₂），
令

x1

x2

=t，則t＞1，設(shè)g(t)=lnt-

2(t+1)

t+1

（t＞1），
g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵g（1）=0，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴lnt＞

2(t-1)

t-1

，即x1x2＞e2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，對于（3）的證明運用了分析法，換元法等，考查了學(xué)生的靈活變形能力，是高考試卷中的壓軸題．