Question

已知a＞0，f（x）=xln（x+a）（x＞0），g（x）=

2f(x)+a

x

；
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，?x₀∈90，+∞），使f（x₀）=bx₀-1成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）若關(guān)于x的不等式g（x）≤1+ln（3a+1）在（0，+∞）有解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)解不等式從而求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由已知得方程xln（x+2）=bx-1在（0，+∞）有實(shí)數(shù)根，等價(jià)于求；b=h（x）=ln（x+2）+

1

x

在（0，+∞）的值域； 當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=2ln（x+2）+

2

x

=2h（x），h（x）=

1

2

g（x），從而h（x）_min=h（2）=2ln2+

1

2

，進(jìn)而求出b的取值范圍為[2ln2+

1

2

，+∞）；
（ III）由（ I）得g（x）在（0，a）的單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，從而g（x）≥g（a）=1+2ln2a，進(jìn)而ln（3a+1）≥2ln2a?3a+1≥4a²則4a²-3a-1≤0，（4a+1）（a-1）≤0，又0＜a≤1，最后b的取值范圍為（0，1]．

解答： 解：（ I）∵g（x）=2ln（x+a）+

a

x

，函數(shù)g（x）的定義域是（0，+∞）
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞a時(shí)，g′（x）＞0，
∴g′（x）=

(2x+a)(x-a)

x2(x+a)

，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）；
（ II）由已知得方程xln（x+2）=bx-1在（0，+∞）有實(shí)數(shù)根，等價(jià)于求；
b=h（x）=ln（x+2）+

1

x

在（0，+∞）的值域； 
當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=2ln（x+2）+

2

x

=2h（x），h（x）=

1

2

g（x），
∴h（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，h（x）_min=h（2）=2ln2+

1

2

，
又h（x）→+∞則h（x）的值域?yàn)閇2ln2+

1

2

，+∞），
∴b的取值范圍為[2ln2+

1

2

，+∞）；
（ III）由（ I）得g（x）在（0，a）的單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增
∴g（x）≥g（a）=1+2ln2a，
要使關(guān)于x的不等式g（x）≤1+ln（3a+1）在（0，+∞）有解，
只需1+ln（3a+1）≥1+2ln2a成立即可，
∴l(xiāng)n（3a+1）≥2ln2a?3a+1≥4a²
則4a²-3a-1≤0，（4a+1）（a-1）≤0，
又a＞0，∴0＜a≤1，
∴a的取值范圍為（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的取值范圍，是一道綜合題．